Assíntota Horizontal e Vertical

Resumo Completo

Existem funções que geram efeitos interessantes: os efeitos das assíntotas verticais e assíntotas horizontais. Se você não sabe, assíntotas são retas fixas das quais temos a função principal se aproximando, mas nunca tocando.

Assíntotas verticais

Esses troços tem um formato parecido com esse aqui:

Nesse caso, temos a função f ( x ) = 1 / ( x - 1 ) . Essa função não pode assumir o valor x = 1 , pois teríamos 1 / 0 nesse ponto.

Se aplicarmos os limites laterais, veremos que:

lim x 1 - 1 x - 1 = - lim x 1 + 1 x - 1 =

Beleza? Isso mostra que em x = 1 existe uma Assíntota vertical!

Assim, teremos assíntotas verticais, quando a função explode lateralmente para ± (se explodir por um ou pelos dois lados, será assíntota vertical mesmo assim), ou seja, valores proibidos de x .

As assíntotas verticais ocorrem em pontos que não pertencem ao domínio da função. Então quando a questão te perguntar onde há assíntotas, teste o limite nesses pontos!

Assíntotas horizontais

Veja que:

lim x + 7 x 2 + 2 + 1 = 1 lim x - 7 x 2 + 2 + 1 = 1

Os limites para x tendendo a mais ou menos infinito existem! Ou seja, não explodem para mais ou menos infinito e sim têm a um número finito, nesse caso, 1 . Assim, dizemos que há uma assíntota horizontal em:

y = 1

Repare que a função está se aproximando, sem nunca tocar, da reta y = 1 nos extremos:

Assim, para acharmos assíntotas horizontais, testamos dois limites: um para x indo para mais e outro para x indo para menos infinito. Se um ou os dois limites derem um valor finito, teremos assíntota horizontal.

Não é necessário que os dois limites deem iguais a uma constante, só é preciso que um deles dê. Se os dois limites derem constantes diferentes, teremos duas assíntotas, uma em cada constante.

Sacou? Partiu fazer uns exercícios?

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Exercício Resolvido #1

Enunciado

UNICAMP - Cálculo 1 - P1 2015 Noturno – 3

Encontre as assíntotas verticais e horizontais da seguinte função

f x = x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Antes de qualquer coisa vou analisar os dois termos (numerador e denominador) de f ( x ) e tentar abrir em um produto de polinômios irredutíveis.

x 2 - 5 x = x ( x - 5 )

x 2 - 6 x + 5 = x - 1 x - 5

Podemos simplificar f ( x ) , dessa forma:

f x = x x - 5 x - 1 x - 5 = x x - 1

Mesmo cortando o x - 5 em cima e embaixo, x = 5 está fora do domínio, por zerar o denominador original.

Ok, vamos procurar as assíntotas agora.

Passo 2

Seguinte, Assíntotas verticais aparecem onde o domínio não está definido e as horizontais aparecem quando usamos o limite em ± .

Começando com as verticais, o domínio não está definido em x = 1

lim x 1 - f x = lim x 1 - x x - 1 = 1 0

= -

lim x 1 + f x = lim x 1 + x x - 1 = 1 0

= +

Assíntota vertical em x = 1 .

OBS: Repara que x = 5 também não está no domínio da função original, já que aparece um x - 5 no denominador de f . Porém, o que acontece é que, ao calcularmos seu limite quando x 5 veremos que ele converge para um valor, e não para ± , não consistindo em uma assíntota vertical!

lim x 5 - f x = lim x 5 - x x - 1 = 5 4

lim x 5 + f x = lim x 5 + x x - 1 = 5 4

Passo 3

Vamos usar o limite de f ( x ) em x + e em x -

lim x + f x = lim x + x x - 1

= lim x + 1 1 - 1 x

= 1

lim x - f x = lim x - x x - 1

= lim x - 1 1 - 1 x

= 1

Achamos uma mesma assíntota horizontal, y = 1 .

Resposta

A s s .   v e r t i c a l : x = 1

A s s .   h o r i z o n t a l : y = 1

Exercício Resolvido #2

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2014.2 - 3 a b

Seja g x = ln 2 + 3 x . Determine o que se pede, justificando adequadamente o que não há.

a Domínio de g .

( b ) Assíntotas horizontais e verticais da curva y = g ( x )

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

( a ) Para o domínio de g ( x ) devemos lembrar que o termo dentro de um logaritmo deve sempre ser > 0 enquanto o termo dentro de uma raiz quadrada deve sempre ser 0 . No fim das contas, o objetivo é ter:

2 + 3 x > 0 3 x > - 2

x > log 3 ( - 2 )

Pera, mas não existe log de número negativo, certo? Bom, isso significa que nosso domínio será todo o espaço real. Isso faz sentido uma vez que 2 e 3 x são dois valores sempre positivos e, portanto, sua soma também é.

D o m :   R

Passo 2

( b ) Uma vez que não existem descontinuidades no domínio não haverão assíntotas verticais. Vamos focar em assíntotas horizontais usando o limite em x ±

lim x ln 2 + 3 x = ln ( ) =

lim x - ln 2 + 3 x = ln 2 + 0 = ln 2

Logo, temos uma assíntota horizontal em y = ln 2

Resposta

a   D o m :   R

b   A s s í n t o t a s :   y = ln 2

Exercício Resolvido #3

Enunciado

CEFET - Cálculo 1 - P1 Romulo 2014.2 – 4

Encontre as assíntotas horizontais e verticais:

x 2 y - 2 x 2 - y - 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos escrever em forma de f x = y primeiro:

x 2 y - y = 2 x 2 + 2

y x 2 - 1 = 2 ( x 2 + 1 )

y = f x = 2 x 2 + 1 x 2 - 1

Que fique claro, é bom analisar logo o domínio dessa função. Seu denominador não pode zerar, o que acontece em x = 1 e em x = - 1 . Seu domínio será, portanto:

D o m :   R - { 1 , - 1 }

Passo 2

Para ver assíntotas horizontais lançamos o limite para ± da função:

lim x + f x = lim x + 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = lim x + 2 x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2

lim x + 2 1 + 1 x 2 1 - 1 x 2 = 2 1 + 0 1 - 0 = 2

Agora para x - :

lim x - f x = lim x - 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = lim x - 2 x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2

lim x - 2 1 + 1 x 2 1 - 1 x 2 = 2 1 + 0 1 - 0 = 2

Pelos resultados temos duas assíntotas horizontais de mesma equação, y = 2 .

Passo 3

Para assíntotas verticais temos que olhar para onde o domínio da função não está definido (nesse caso, em ± 1 ) e lançar os limites laterais ali:

lim x 1 + 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = +  

lim x 1 - 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = -

lim x - 1 + 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = -

lim x - 1 - 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = +

Feito isso, sabemos que temos assíntotas verticais em x = 1 e x = - 1

Resposta

A s s .   V e r t i c a i s : x = 1   ; x = - 1

A s s .   H o r i z o n t a i s : y = 2

Exercício Resolvido #4

Enunciado

UFF - Cálculo IA - P1 Humberto 2014.1 – 2 e

Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f abaixo

f x = sen 3 x x ,     s e   x 0 5 ,     s e   x = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos olhar para a f x e seu domínio, em primeiro lugar. Quando x = 0 ela vale 5 , mas para x 0 , ela vale a seguinte função:

sen 3 x x

Bom, o domínio desse cara aqui de cima, para não zerar o denominador, é x 0 . Com isso, a gente conclui que ele está definido exclusivamente numa região em que ele existe, sem descontinuidades! Não teremos assíntotas verticais, portanto, em x 0 .

Passo 2

Agora, em x = 0 nós precisamos calcular os limites laterais, pois temos uma descontinuidade!

lim x 0 + sen 3 x x       ;       lim x 0 - sen 3 x x

Repara, ambos se resolvem pelo limite fundamental, já que:

lim x 0 sen 3 x x = lim x 0 sen 3 x x 3 3 = 3 lim x 0 sen 3 x 3 x

= 3 1 = 3

Enfim, a conclusão é que, por mais que os limites laterais (que valem 3 ) não batam com o valor de f no ponto (que é 5 ), eles não explodem para ± , não gerando assíntotas verticais.

Passo 3

Caçamos as assíntotas horizontais jogando os limites para x ± . Começamos fazendo o x + :

lim x + sen 3 x x = sen

O jeito de resolver esse cara é usar o Teorema do Confronto:

- 1 sen 3 x 1

lim x + - 1 x lim x + sen 3 x x lim x + 1 x

lim x + - 1 x = lim x + 1 x = 0

lim x + sen 3 x x = 0

Pelo mesmo raciocínio, encontraremos:

- 1 sen 3 x 1

lim x - - 1 x lim x - sen 3 x x lim x - 1 x

lim x - - 1 x = lim x - 1 x = 0

lim x - sen 3 x x = 0

Achamos a mesma assíntota horizontal para os dois lados, y = 0 .

Resposta

A s s .   V e r t i c a i s :   -

A s s .   H o r i z o n t a i s : y = 0

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração própria

Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f abaixo

f x = 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos olhar para a f x e seu domínio, em primeiro lugar. Quando x = 4 , vemos que a função da problema porque:

f 4 = 1 4 - 4 - 1 4 2 - 5 . 4 + 4 = 1 0 - 1 16 - 20 + 4 = 1 0 - 1 0

Bom, o domínio desse cara aqui de cima, para não zerar o denominador, é x 4 . Como x = 4 é um ponto que gera indeterminação, esse ponto é um candidato pra assíntota vertical

Passo 2

Agora, em x = 4 nós precisamos calcular os limites laterais, pois temos uma descontinuidade!

lim x 4 + 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4       ;       lim x 4 - 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

Repara, para ambos precisamos primeiro reescrever o limite. O denominador mais complicado é um polinômio de segundo grau que já sabemos uma das raízes, o próprio 4 . A outra vai ser b , tal que:

x 2 - 5 x + 4 = x - 4 x - b

x 2 - 5 x + 4 = x 2 - b + 4 x + 4 b

Se

b + 4 = 5

4 b = 1

Então

b = 1

E logo:

1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = 1 x - 4 - 1 x - 4 x - 1

x - 1 x - 4 x - 1 - 1 x - 4 x - 1 = x - 1 - 1 x - 4 x - 1 = x - 2 x - 4 x - 1

Fazendo isso no limite:

lim x 4 ± 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = lim x 4 ± x - 2 x - 4 x - 1 =

= lim x 4 ± 1 x - 4 lim x 4 ± x - 2 x - 1

= lim x 4 ± 1 x - 4 4 - 2 4 - 1 = 2 3 lim x 4 ± 1 x - 4

Observando-o lateralmente temos:

2 3 lim x 4 + 1 x - 4 = +

2 3 lim x 4 - 1 x - 4 = -

E com isso, concluímos que x = 4 é uma assíntota vertical!

Passo 3

Mas calma lá, o polinômio x 2 - 5 x + 4 não tinha duas raízes? O que vai acontecer em x = 1 ? Vamos substituir e ver:

f x = 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = x - 2 x - 4 x - 1

f 1 = 1 - 2 1 - 4 1 - 1 = - 1 - 3.0 = 1 0

Opa, outra indeterminação! Já que é assim, x = 1 também é um candidato à assíntota vertical. Partiu então calcular o limite:

lim x 1 ± 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = lim x 1 ± x - 2 x - 4 x - 1 =

= lim x 1 ± 1 x - 1 lim x 1 ± x - 2 x - 4

= lim x 1 ± 1 x - 1 1 - 2 1 - 4 = 1 3 lim x 1 ± 1 x - 1

Observando-o lateralmente temos:

1 3 lim x 1 + 1 x - 1 = +

1 3 lim x 1 - 1 x - 1 = -

E com isso, concluímos que x = 1 também é uma assíntota vertical!

Passo 4

E pra fechar com chave de ouro, falta só a gente checar as assíntotas horizontais. Para isso, precisamos fazer:

lim x ± 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

Como já vimos, esse limite vai ser igual à

lim x ± x - 2 x - 4 x - 1

Abrindo o denominador, temos:

lim x ± x - 2 x 2 - 5 x + 4

Colocando os termos de maior ordem em evidência, ficamos com:

lim x ± x 1 - 2 x x 2 1 - 5 x + 4 x 2 = lim x ± 1 - 2 x x 1 - 5 x + 4 x 2

E, por fim, aplicando o limite:

lim x ± 1 - 2 x x 1 - 5 x + 4 x 2 = 1 - 0 ±   1 - 0 + 0 = 1 ± = 0

E prontinho! Questão resolvida, agora é só partir pro abraço. Vamos ter que y = 0 é também uma assíntota, só que esta é horizontal

Resposta

A s s .   V e r t i c a i s :   x = 1   e   x = 4

A s s .   H o r i z o n t a i s : y = 0

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