Assíntota Horizontal e Vertical

Teoria Completa

O que é uma assíntota?

Vamos dar uma olhada no gráfico da função y = e - x aqui:

O que será que acontece se a gente colocar um valor de x muuuuito grande? Pelo gráfico parece que a nossa função vai praticamente pra zero né?

Na realidade o que acontece é que a nossa função fica muito perto de zero mas nunca chega a encostar no eixo x , nesse caso dizemos que o eixo x é uma assíntota de y =   e - x , porque a função chega pertinho do eixo, mas nunca encosta nele.

Assíntotas Horizontais

No exemplo aí de cima a gente chegou a conclusão de que o eixo x era um assíntota, maaaas ele é uma reta horizontal correto? Então o eixo x vai ser uma assíntota horizontal.

Beleza, nesse caso a gente resolveu olhando pelo gráfico, mas como a gente resolve se não tivermos o gráfico da função???

Fica calma meu jovem, percebeu que para achar nossa assíntota a gente pensou em pegar um x   muuuuito grande? Então, o que a gente fez foi basicamente achar o limite da função quando x vai pra infinito, olha só:

lim x  → + ∞    ⁡ e - x     =         lim ⁡   x → + ∞    ⁡ 1 e x         =         1 ∞         =         0

Olha que maneiro, chegamos que o o nosso limite é igual a zero, e o eixo x é justamente a reta y = 0 .

Opa! Parece que agora a gente consegue achar a assíntota horizontal de qualquer função. Nesse caso ai de cima a gente só jogou x pra um valor infinito positivo, só que quando a gente não tem o gráfico o que a gente vai fazer é pegar um x muuuuito grande positivo, ou muuuito grande negativo, porque a nossa função pode ter essa carinha aqui:

Então quer dizer que para acharmos uma assíntota horizontal basta a gente resolver esses dois limites:

lim x → + ∞   ⁡ f x                                                                           e                                                                                 lim x → - ∞   ⁡ f x          

Se um ou os dois limites derem um valor finito, ou seja, não explodirem pra mais ou menos infinito, quer dizer que encontramos uma assíntota horizontal. Vamos supor que um dos limites deu igual a 2, teremos então que y = 2 é uma assíntota.

Só fica atento que não é necessário que os dois limites deem iguais a uma constante, só é preciso que um deles dê. Se os dois limites derem constantes diferentes, teremos duas assíntotas, uma em cada constante.

Assíntotas Verticais

A ideia das assíntotas verticais é super parecida com a das horizontais, olha só o seguinte gráfico da função y =   1 x   -   1 :

Se a gente olhar com calma quando temos um y muuuito grande (tanto positivo quanto negativo) parece que a nossa função praticamente encosta na reta x = 1 . Então o que isso significa?? Essa reta é nossa assíntota vertical.

Mas parece que de novo a gente resolveu olhando pro gráfico, mas só da pra resolver assim quando temos o gráfico né.

E como faz pra resolver se não tivermos ele?

Então, perceberam que a gente basicamente viu que quando a função chegava muito perto de x = 1   (pela direita e pela esquerda) ela explodia pra mais ou pra menos infinito? Opa, então o que a gente fez foi basicamente resolver esses limites aqui olha:

lim ⁡   x  →   1 -    ⁡ 1 x     -     1 =   - ∞                                                               e                                                                         lim x  →   1 +    ⁡ 1 x     -     1 =   + ∞

Aaaah maneiro então basta a gente resolver dois limites, mas por quê escolhemos fazer o x   tender a 1? Então isso é uma coisa que precisamos ter bastante atenção. No caso do nosso exemplo a nossa função era:

y =   1 x   –   1

E se olharmos com calma x = 1   é um valor que faria nosso denominador ir pra zero ☹ , ou seja, daria problema na nossa função.

Então pra achar assíntotas verticais vamos basicamente procurar valores de x que podem dar problema no nosso domínio, devemos ficar ligados principalmente em casos tipo esses: quando o denominador zerar, ou quando dentro de um logaritmo a expressão assumir valor zero. Saca só alguns exemplos:

E aí galera, depois de achar esses valores que dão problema na nossa função, a gente faz o limite com x   tendendo pra eles tanto pela direita quanto pela esquerda.

lim ⁡   x  →   a -    ⁡ f ( x )                                                                         e                                                                                              lim ⁡   x  →   a +    ⁡ f ( x )

Se esses limites explodirem pra mais ou pra menos infinito, é so partir pro abraço, porque você vai ter encontrado uma assíntota vertical 😉.

Passo a passo

Para gente achar assíntotas horizontais nós temos que:

  1. Fazer os limites da nossa função pra x     indo pra mais e pra menos infinto.
  2. Se pelo menos um desses limites der uma constante c , teremos que y = c é assíntota.
  3. Se os limites derem constantes diferentes, teremos duas assíntotas.
  4. Se os dois limites explodirem pra mais ou pra menos infinito, não temos assíntotas horizontais.

Pra gente achar as assíntotas verticais nós temos que:

  1. Achar valores de x   que dão problema na nossa função, ou seja, que não estão no domínio dela (lembrar dos principais casos).
  2. Fazer os limites laterais da função tendendo pra esse valor de x   que dá problema.
  3. Se esses limites explodirem para mais ou menos infinto, quer dizer que tem uma assíntota vertical ali.

Maneiro ne? Agora vamos partir pros exercícios!

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Exercício Resolvido #1

UNICAMP - Cálculo 1 - P1 2015 Noturno – 3

Encontre as assíntotas verticais e horizontais da seguinte função

f x = x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

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Passo 1

Antes de qualquer coisa vou analisar os dois termos (numerador e denominador) de f ( x ) e tentar abrir em um produto de polinômios irredutíveis.

x 2 - 5 x = x ( x - 5 )

x 2 - 6 x + 5 = x - 1 x - 5

Podemos simplificar f ( x ) , dessa forma:

f x = x x - 5 x - 1 x - 5 = x x - 1

Mesmo cortando o x - 5 em cima e embaixo, x = 5 está fora do domínio, por zerar o denominador original.

Ok, vamos procurar as assíntotas agora.

Passo 2

Seguinte, Assíntotas verticais aparecem onde o domínio não está definido e as horizontais aparecem quando usamos o limite em ± ∞ .

Começando com as verticais, o domínio não está definido em x = 1

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x x - 1 = 1 0

= - ∞

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x x - 1 = 1 0

= + ∞

Assíntota vertical em x = 1 .

OBS: Repara que x = 5 também não está no domínio da função original, já que aparece um x - 5 no denominador de f . Porém, o que acontece é que, ao calcularmos seu limite quando x → 5 veremos que ele converge para um valor, e não para ± ∞ , não consistindo em uma assíntota vertical!

lim x → 5 - ⁡ f x = lim x → 5 - ⁡ x x - 1 = 5 4

lim x → 5 + ⁡ f x = lim x → 5 + ⁡ x x - 1 = 5 4

Passo 3

Vamos usar o limite de f ( x ) em x → + ∞ e em x → - ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x x - 1

= lim x → + ∞ ⁡ 1 1 - 1 x

= 1

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x x - 1

= lim x → - ∞ ⁡ 1 1 - 1 x

= 1

Achamos uma mesma assíntota horizontal, y = 1 .

Resposta

A s s .   v e r t i c a l : x = 1

A s s .   h o r i z o n t a l : y = 1

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2014.2 - 3 a b

Seja g x = ln ⁡ 2 + 3 x . Determine o que se pede, justificando adequadamente o que não há.

a Domínio de g .

( b ) Assíntotas horizontais e verticais da curva y = g ( x )

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Passo 1

( a ) Para o domínio de g ( x ) devemos lembrar que o termo dentro de um logaritmo deve sempre ser > 0 enquanto o termo dentro de uma raiz quadrada deve sempre ser ≥ 0 . No fim das contas, o objetivo é ter:

2 + 3 x > 0 → 3 x > - 2

x > log 3 ⁡ ( - 2 )

Pera, mas não existe log de número negativo, certo? Bom, isso significa que nosso domínio será todo o espaço real. Isso faz sentido uma vez que 2 e 3 x são dois valores sempre positivos e, portanto, sua soma também é.

D o m :   R

Passo 2

( b ) Uma vez que não existem descontinuidades no domínio não haverão assíntotas verticais. Vamos focar em assíntotas horizontais usando o limite em x → ± ∞

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 + 3 x = ln ⁡ ( ∞ ) = ∞

lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ 2 + 3 x = ln ⁡ 2 + 0 = ln ⁡ 2

Logo, temos uma assíntota horizontal em y = ln ⁡ 2

Resposta

a   D o m :   R

b   A s s í n t o t a s :   y = ln ⁡ 2

Exercício Resolvido #3

CEFET - Cálculo 1 - P1 Romulo 2014.2 – 4

Encontre as assíntotas horizontais e verticais:

x 2 y - 2 x 2 - y - 2 = 0

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Passo 1

Vamos escrever em forma de f x = y primeiro:

x 2 y - y = 2 x 2 + 2

y x 2 - 1 = 2 ( x 2 + 1 )

y = f x = 2 x 2 + 1 x 2 - 1

Que fique claro, é bom analisar logo o domínio dessa função. Seu denominador não pode zerar, o que acontece em x = 1 e em x = - 1 . Seu domínio será, portanto:

D o m :   R - { 1 , - 1 }

Passo 2

Para ver assíntotas horizontais lançamos o limite para ± ∞ da função:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2

lim x → + ∞ ⁡ 2 1 + 1 x 2 1 - 1 x 2 = 2 1 + 0 1 - 0 = 2

Agora para x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2

lim x → - ∞ ⁡ 2 1 + 1 x 2 1 - 1 x 2 = 2 1 + 0 1 - 0 = 2

Pelos resultados temos duas assíntotas horizontais de mesma equação, y = 2 .

Passo 3

Para assíntotas verticais temos que olhar para onde o domínio da função não está definido (nesse caso, em ± 1 ) e lançar os limites laterais ali:

lim x → 1 + ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = + ∞  

lim x → 1 - ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = - ∞

lim x → - 1 + ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = - ∞