Assíntota Horizontal e Vertical

Teoria Completa

O que é uma assíntota?

Vamos dar uma olhada no gráfico da função y = e - x aqui:

O que será que acontece se a gente colocar um valor de x muuuuito grande? Pelo gráfico parece que a nossa função vai praticamente pra zero, né?

Na realidade, o que acontece é que a nossa função fica muito perto de zero mas nunca chega a encostar no eixo x , nesse caso dizemos que o eixo x é uma assíntota de y = e - x , porque a função chega pertinho do desse eixo, mas nunca encosta nele.

Ou seja, podemos dizer que uma assíntota horizontal ou vertical nada mais é do que uma reta imaginária que delimita a aproximação de uma função no gráfico à medida que ela cresce ou decresce.

Assíntotas Horizontais

No exemplo aí de cima a gente chegou à conclusão de que o eixo x era um assíntota, maaaas ele é uma reta horizontal correto? Então, o eixo x vai ser uma assíntota horizontal.

Beleza, nesse caso a gente resolveu olhando pelo gráfico, mas como a gente resolve se não tivermos o gráfico da função???

Calminha... Você percebeu que para achar nossa assíntota a gente pensou em pegar um x   muuuuito grande? Então, o que a gente fez foi basicamente achar o limite da função quando x vai pra infinito, olha só:

lim x  → + ∞    ⁡ e - x = lim ⁡   x → + ∞ ⁡ 1 e x = 1 ∞ = 0

Maneiro! Chegamos que o nosso limite é igual a zero e o eixo x é justamente a reta y = 0 .

Opa! Parece que agora a gente consegue achar a assíntota horizontal de qualquer função. Nesse caso aí de cima a gente só jogou x pra um valor infinito positivo, só que quando a gente não tem o gráfico o que a gente vai fazer é pegar um x muuuuito grande nas duas direções, ou seja, positivo e negativo. Isso acontece, pois a nossa função pode ter a seguinte carinha:

Então, quer dizer que para acharmos uma assíntota horizontal basta a gente resolver dois limites, quando x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = b

Onde b ∈ R .

E quando x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = b

Onde b ∈ R .

Se um ou os dois limites resultarem em um valor finito, ou seja, não explodirem pra mais ou menos infinito, quer dizer que encontramos uma assíntota horizontal. Vamos supor que um dos limites resultou em 2, teremos então que y = 2 é uma assíntota.

Só fica atento que não é necessário que os dois limites sejam iguais a uma constante para ser uma assíntota, mas apenas um deles. Caso os dois limites resultem em constantes diferentes, teremos duas assíntotas, uma em cada constante.

Assíntotas Verticais

A ideia das assíntotas verticais é super parecida com a das horizontais, olha só o seguinte gráfico da função y = 1 x   -   1 :

Se a gente olhar com calma quando temos um y muuuito grande (tanto positivo quanto negativo) parece que a nossa função praticamente encosta na reta x = 1 .

Então, o que isso significa? Basicamente, que essa reta é nossa assíntota vertical.

Mas parece que de novo a gente resolveu só olhando pro gráfico, como faz pra resolver se não tivermos ele?

Então, perceberam que a gente basicamente viu que quando a função chegava muito perto de x = 1   (pela direita e pela esquerda) ela explodia pra mais e pra menos infinito? Opa, então o que a gente fez foi basicamente resolver esses limites aqui, olha só:

lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 = - ∞

lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 = + ∞

Ah maneiro, então basta a gente resolver dois limites e eles resultarem em - ∞ ou + ∞ , mas por que escolhemos o x → 1 ? Então, isso é uma coisa que precisamos ter bastante atenção. No caso do nosso exemplo, a nossa função era:

y =   1 x   –   1

Se olharmos com calma, percebemos que x = 1 faria nosso denominador resultar em zero ☹, ou seja, daria problema na nossa função.

Então, para achar as assíntotas verticais, vamos basicamente procurar valores de x que podem dar problema no nosso domínio. Devemos ficar ligados principalmente em casos em que o resulta em 0 ou quando dentro de um logaritmo a expressão assume valor zero, saca só alguns exemplos:

Sendo assim, depois de achar esses valores que dão problema na função, a gente resolve o limite com x   tendendo pra eles tanto pela direita quanto pela esquerda:

lim x → a - ⁡ f ( x )

lim x → a + ⁡ f ( x )

Se um desses dois limites explodirem para mais ou para menos infinito, ou seja, se o limite tendendo a a pela esquerda ou o limite tendendo a a pela direita resultarem em + ∞ ou - ∞ , é só partir para o abraço, porque você terá encontrado uma assíntota vertical naquele sentido 😉.

Passo a passo

Para a gente achar possíveis assíntotas horizontais nós temos que:

  1. Fazer os limites da nossa função com x tendendo a mais e menos infinito;
  2. Se pelo menos um desses limites resultar em uma constante c , onde c ∈ R . Teremos que a reta y = c é uma assíntota horizontal;
  3. Se os limites derem constantes diferentes, teremos duas assíntotas;
  4. Se os dois limites explodirem para mais ou pra menos infinito, não temos assíntotas horizontais.

Para a gente achar possíveis assíntotas verticais nós temos que:

  1. Achar valores de x   que dão problema na nossa função, ou seja, que não estão no domínio dela (lembrar dos principais casos);
  2. Fazer os limites laterais da função com x tendendo aos valores problemáticos;
  3. Se um desses limites laterais explodirem para mais ou menos infinito, quer dizer que temos uma assíntota vertical;
  4. Se os dois limites resultarem em constantes, não temos assíntotas verticais.

Maneiro, né? Agora vamos partir pros exercícios de fixação!

Exercício Resolvido #1

UNICAMP - Cálculo 1 - P1 2015 Noturno – 3

Encontre as assíntotas verticais e horizontais da seguinte função

f x = x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

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Passo 1

Antes de qualquer coisa vou analisar os dois termos (numerador e denominador) de f ( x ) e tentar abrir em um produto de polinômios irredutíveis.

x 2 - 5 x = x ( x - 5 )

x 2 - 6 x + 5 = x - 1 x - 5

Podemos simplificar f ( x ) , dessa forma:

f x = x x - 5 x - 1 x - 5 = x x - 1

Mesmo cortando o x - 5 em cima e embaixo, x = 5 está fora do domínio, por zerar o denominador original.

Ok, vamos procurar as assíntotas agora.

Passo 2

Seguinte, Assíntotas verticais aparecem onde o domínio não está definido e as horizontais aparecem quando usamos o limite em ± ∞ .

Começando com as verticais, o domínio não está definido em x = 1

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x x - 1 = 1 0

= - ∞

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x x - 1 = 1 0

= + ∞

Assíntota vertical em x = 1 .

OBS: Repara que x = 5 também não está no domínio da função original, já que aparece um x - 5 no denominador de f . Porém, o que acontece é que, ao calcularmos seu limite quando x → 5 veremos que ele converge para um valor, e não para ± ∞ , não consistindo em uma assíntota vertical!

lim x → 5 - ⁡ f x = lim x → 5 - ⁡ x x - 1 = 5 4

lim x → 5 + ⁡ f x = lim x → 5 + ⁡ x x - 1 = 5 4

Passo 3

Vamos usar o limite de f ( x ) em x → + ∞ e em x → - ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x x - 1

= lim x → + ∞ ⁡ 1 1 - 1 x

= 1

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x x - 1

= lim x → - ∞ ⁡ 1 1 - 1 x

= 1

Achamos uma mesma assíntota horizontal, y = 1 .

Resposta

A s s .   v e r t i c a l : x = 1

A s s .   h o r i z o n t a l : y = 1

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2014.2 - 3 a b

Seja g x = ln ⁡ 2 + 3 x . Determine o que se pede, justificando adequadamente o que não há.

a Domínio de g .

( b ) Assíntotas horizontais e verticais da curva y = g ( x )

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Passo 1

( a ) Para o domínio de g ( x ) devemos lembrar que o termo dentro de um logaritmo deve sempre ser maior 0 , enquanto o termo dentro de uma raiz quadrada deve sempre ser maior ou igual a   0 .

Vamos analisar dentro da raiz. Lá temos a seguinte condição,

2 + 3 x ≥ 0

Repara que temos do somatório de 2 e 3 x são valores sempre positivos. Ou seja, não teremos nenhuma restrição para raiz.

Seguindo o mesmo raciocínio para analisar a parte logarítmica, temos que o resultado da raiz sempre será positivo. Não havendo restrições também.

Portanto, temos que,

D o m :   R

Passo 2

( b ) Uma vez que não existem descontinuidades no domínio não teremos assíntotas verticais.

Vamos focar nas assíntotas horizontais. Podemos pensar na assíntota como uma linha horizontal imaginaria que nunca será tocada.

Para isso, verificamos o limite em x → ± ∞

Primeiro vamos de x → + ∞

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 + 3 x = ln ⁡ ( ∞ ) = ∞

Repara que ele vai para o infinito, então não temos uma linha na horizontal que não será cortada, já que a função tá sempre subindo.

Agora vamos analisar x → - ∞

lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ 2 + 3 x = ln ⁡ 2 + 0 = ln ⁡ 2

Aqui encontramos uma assíntota horizontal em y = ln ⁡ 2 .

A gente já encontrou a assíntota, mas vamos olhar o gráfico por curiosidade,

Repara que temos uma linha horizontal imaginaria quando vamos para valores de x negativos.

Resposta

a   D o m :   R

b   A s s í n t o t a s :   y = ln ⁡ 2

Exercício Resolvido #3

CEFET - Cálculo 1 - P1 Romulo 2014.2 – 4

Encontre as assíntotas horizontais e verticais:

x 2 y - 2 x 2 - y - 2 = 0

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Passo 1

Vamos escrever em forma de f x = y primeiro:

x 2 y - y = 2 x 2 + 2

y x 2 - 1 = 2 ( x 2 + 1 )

y = f x = 2 x 2 + 1 x 2 - 1

Que fique claro, é bom analisar logo o domínio dessa função. Seu denominador não pode zerar, o que acontece em x = 1 e em x = - 1 . Seu domínio será, portanto:

D o m :   R - { 1 , - 1 }

Passo 2

Para ver assíntotas horizontais lançamos o limite para ± ∞ da função:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2

lim x → + ∞ ⁡ 2 1 + 1 x 2 1 - 1 x 2 = 2 1 + 0 1 - 0 = 2

Agora para x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2

lim x → - ∞ ⁡ 2 1 + 1 x 2 1 - 1 x 2 = 2 1 + 0 1 - 0 = 2

Pelos resultados temos duas assíntotas horizontais de mesma equação, y = 2 .

Passo 3

Para assíntotas verticais temos que olhar para onde o domínio da função não está definido (nesse caso, em ± 1 ) e lançar os limites laterais ali:

lim x → 1 + ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = + ∞  

lim x → 1 - ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = - ∞

lim x → - 1 + ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = - ∞

lim x → - 1 - ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 = + ∞

Feito isso, sabemos que temos assíntotas verticais em x = 1 e x = - 1

Resposta

A s s .   V e r t i c a i s : x = 1   ; x = - 1

A s s .   H o r i z o n t a i s : y = 2

Exercício Resolvido #4

UFF - Cálculo IA - P1 Humberto 2014.1 – 2 e

Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f abaixo

f x = sen ⁡ 3 x x ,     s e   x ≠ 0 5 ,     s e   x = 0

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Passo 1

Vamos olhar para a f x e seu domínio, em primeiro lugar. Quando x = 0 ela vale 5 , mas para x ≠ 0 , ela vale a seguinte função:

sen ⁡ 3 x x

Bom, o domínio desse cara aqui de cima, para não zerar o denominador, é x ≠ 0 . Com isso, a gente conclui que ele está definido exclusivamente numa região em que ele existe, sem descontinuidades! Não teremos assíntotas verticais, portanto, em x ≠ 0 .

Passo 2

Agora, em x = 0 nós precisamos calcular os limites laterais, pois temos uma descontinuidade!

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ 3 x x       ;       lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 3 x x

Repara, ambos se resolvem pelo limite fundamental, já que:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x x 3 3 = 3 lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x 3 x

= 3 1 = 3

Enfim, a conclusão é que, por mais que os limites laterais (que valem 3 ) não batam com o valor de f no ponto (que é 5 ), eles não explodem para ± ∞ , não gerando assíntotas verticais.

Passo 3

Caçamos as assíntotas horizontais jogando os limites para x → ± ∞ . Começamos fazendo o x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x = sen ⁡ ∞ ∞

O jeito de resolver esse cara é usar o Teorema do Confronto:

- 1 ≤ sen ⁡ 3 x ≤ 1

lim x → + ∞ ⁡ - 1 x ≤ lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x ≤ lim x → + ∞ ⁡ 1 x

lim x → + ∞ ⁡ - 1 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x = 0

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x = 0

Pelo mesmo raciocínio, encontraremos:

- 1 ≤ sen ⁡ 3 x ≤ 1

lim x → - ∞ ⁡ - 1 x ≤ lim x → - ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x ≤ lim x → - ∞ ⁡ 1 x

lim x → - ∞ ⁡ - 1 x = lim x → - ∞ ⁡ 1 x = 0

lim x → - ∞ ⁡ sen ⁡ 3 x x = 0

Achamos a mesma assíntota horizontal para os dois lados, y = 0 .

Resposta

A s s .   V e r t i c a i s :   -

A s s .   H o r i z o n t a i s : y = 0

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f abaixo

f x = 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

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Passo 1

Vamos olhar para a f x e seu domínio, em primeiro lugar. Quando x = 4 , vemos que a função da problema porque:

f 4 = 1 4 - 4 - 1 4 2 - 5 . 4 + 4 = 1 0 - 1 16 - 20 + 4 = 1 0 - 1 0

Bom, o domínio desse cara aqui de cima, para não zerar o denominador, é x ≠ 4 . Como x = 4 é um ponto que gera indeterminação, esse ponto é um candidato pra assíntota vertical

Passo 2

Agora, em x = 4 nós precisamos calcular os limites laterais, pois temos uma descontinuidade!

lim x → 4 + ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4       ;       lim x → 4 - ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

Repara, para ambos precisamos primeiro reescrever o limite. O denominador mais complicado é um polinômio de segundo grau que já sabemos uma das raízes, o próprio 4 . A outra vai ser b , tal que:

x 2 - 5 x + 4 = x - 4 x - b

x 2 - 5 x + 4 = x 2 - b + 4 x + 4 b

Se

b + 4 = 5

4 b = 1

Então

b = 1

E logo:

1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = 1 x - 4 - 1 x - 4 x - 1

x - 1 x - 4 x - 1 - 1 x - 4 x - 1 = x - 1 - 1 x - 4 x - 1 = x - 2 x - 4 x - 1

Fazendo isso no limite:

lim x → 4 ± ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = lim x → 4 ± ⁡ x - 2 x - 4 x - 1 =

= lim x → 4 ± ⁡ 1 x - 4 lim x → 4 ± ⁡ x - 2 x - 1

= lim x → 4 ± ⁡ 1 x - 4 4 - 2 4 - 1 = 2 3 lim x → 4 ± ⁡ 1 x - 4

Observando-o lateralmente temos:

2 3 lim x → 4 + ⁡ 1 x - 4 = + ∞

2 3 lim x → 4 - ⁡ 1 x - 4 = - ∞

E com isso, concluímos que x = 4 é uma assíntota vertical!

Passo 3

Mas calma lá, o polinômio x 2 - 5 x + 4 não tinha duas raízes? O que vai acontecer em x = 1 ? Vamos substituir e ver:

f x = 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = x - 2 x - 4 x - 1

f 1 = 1 - 2 1 - 4 1 - 1 = - 1 - 3.0 = 1 0

Opa, outra indeterminação! Já que é assim, x = 1 também é um candidato à assíntota vertical. Partiu então calcular o limite:

lim x → 1 ± ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = lim x → 1 ± ⁡ x - 2 x - 4 x - 1 =

= lim x → 1 ± ⁡ 1 x - 1 lim x → 1 ± ⁡ x - 2 x - 4

= lim x → 1 ± ⁡ 1 x - 1 1 - 2 1 - 4 = 1 3 lim x → 1 ± ⁡ 1 x - 1

Observando-o lateralmente temos:

1 3 lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 = + ∞

1 3 lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 = - ∞

E com isso, concluímos que x = 1 também é uma assíntota vertical!

Passo 4

E pra fechar com chave de ouro, falta só a gente checar as assíntotas horizontais. Para isso, precisamos fazer:

lim x → ± ∞ ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

Como já vimos, esse limite vai ser igual à

lim x → ± ∞ ⁡ x - 2 x - 4 x - 1

Abrindo o denominador, temos:

lim x → ± ∞ ⁡ x - 2 x 2 - 5 x + 4

Colocando os termos de maior ordem em evidência, ficamos com:

lim x → ± ∞ ⁡ x 1 - 2 x x 2 1 - 5 x + 4 x 2 = lim x → ± ∞ ⁡ 1 - 2 x x 1 - 5 x + 4 x 2

E, por fim, aplicando o limite:

lim x → ± ∞ ⁡ 1 - 2 x x 1 - 5 x + 4 x 2 = 1 - 0 ± ∞   1 - 0 + 0 = 1 ± ∞ = 0

E prontinho! Questão resolvida, agora é só partir pro abraço. Vamos ter que y = 0 é também uma assíntota, só que esta é horizontal

Resposta

A s s .   V e r t i c a i s :   x = 1   e   x = 4

A s s .   H o r i z o n t a i s : y = 0

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