Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 3.2 - Ex. 5

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f x = 2 x     s e   x ≤ 1 1         s e   x > 1 é contínua em 1 ? Justifique.

Passo 1

A definição de continuidade de uma função, nos diz que para todo ϵ , um número positivo, existem δ , também positivo de modo que para um x qualquer do domínio, a função é contínua em p se:

x - p < δ   ⇒ f x - f p < ϵ

Substituindo os valores na segunda inequação, temos:

f x - f p < ϵ

f x - f 1 < ϵ

2 x - 2   < ϵ

2 x - 2   < ϵ

2 x - 1   < ϵ

x - 1   < ϵ 2

Passo 2

Tomando, δ = ϵ 2 , f seria contínua em 1 se

x - 1 < δ   ⇒ f x - f 1 < ϵ

x - 1 < ϵ 2   ⇒ f x - f 1 < ϵ

Mas para x > 1 , f x = 1 , então:

x - 1 < δ

x - 1 < δ

- 1 < δ - x

E

f x - f 1 < ϵ

1 - 2 < ϵ

- 1 < ϵ

ϵ > 1

- ϵ < - 1

Passo 3

Assim, para - 1 < δ - x e - ϵ < - 1

- ϵ < - 1 < δ - x

- ϵ < δ - x

x < δ + ϵ

E se x > 1

δ + ϵ > x > 1

δ + ϵ > 1

Tomando, δ = ϵ 2 ,:

ϵ 2 + ϵ > 1

3 ϵ 2 > 1

ϵ > 2 3

Portanto, falar que x - 1 < δ   ⇒ f x - f 1 < ϵ quando ϵ > 0 não está correto pois para qualquer ϵ no intervalo 0   , 2 3 não existe δ que torne essa afirmação verdadeira.

Logo, f não é contínua em 1 .

Resposta

f não é contínua em 1 .

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