Enunciado

Investigue a continuidade nos pontos indicados:

f (x) = {[[x^2 sen (1)/(x) , x != 0],[0 , x = 0]]) e m x = 0

Passo 1

Vamos ver o que é necessário para uma função ser contínua no ponto a :

  1. f é definida no ponto a ;
  2. underset(x -> a)(lim) f (x) existe;
  3. underset(x -> a)(lim) f (x) = f (a) .

Vamos então ver se as três condições são aceitas.

Passo 2

Primeiro vamos ver se f é definida no ponto x = 0 , e o enunciado nos diz que:

f (0) = 0

Então ela é definida nesse ponto.

Passo 3

Vamos agora ver se o underset(x -> 0)(lim) x^2 sen (1)/(x) existe, para isso valor calcular esse limite, vamos usar o Teorema do Confronto:

- x <= x sen (1)/(x) <= x => underset(x -> 0)(lim) - x <= underset(x -> 0)(lim) x^2 sen (1)/(x) <= underset(x -> 0)(lim) x

Temos que:

underset(x -> 0)(lim) - x = 0

underset(x -> 0)(lim) x = 0

Assim:

underset(x -> 0)(lim) x^2 sen (1)/(x) = 0

Então pronto, ele existe, passa pela segunda condição.

Passo 4

Vamos agora ver a terceira condição:

underset(x -> 0)(lim) x^2 sen (1)/(x) = 0 = f (0) = 0

Pronto, passou também pela terceira condição, então f (x) é contínua em x = 0 .

Resposta

f (x) é contínua em x = 0

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Investigue a continuidade nos pontos indicados: f x = x - xe mx = 0
Investigue a continuidade nos pontos indicados: f x = 1 - x 2 ,x1 1 - x ,x1 1 ,x = 1e mx = 1