Investigue a continuidade nos pontos indicados:

f x = x 2 sen ⁡ 1 x ,               x ≠ 0 0 ,                               x = 0               e m   x = 0

Passo 1

Vamos ver o que é necessário para uma função ser contínua no ponto a :

  1. f é definida no ponto a ;
  2. lim x → a ⁡ f x existe;
  3. lim x → a ⁡ f x = f a .

Vamos então ver se as três condições são aceitas.

Passo 2

Primeiro vamos ver se f é definida no ponto x = 0 , e o enunciado nos diz que:

f 0 = 0

Então ela é definida nesse ponto.

Passo 3

Vamos agora ver se o lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x existe, para isso valor calcular esse limite, vamos usar o Teorema do Confronto:

- x ≤ x sen ⁡ 1 x ≤ x ⇒ lim x → 0 ⁡ - x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x

Temos que:

lim x → 0 ⁡ - x = 0

lim x → 0 ⁡ x = 0

Assim:

lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x = 0

Então pronto, ele existe, passa pela segunda condição.

Passo 4

Vamos agora ver a terceira condição:

lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x = 0 = f 0 = 0

Pronto, passou também pela terceira condição, então f x é contínua em x = 0 .

Resposta

f x é contínua em x = 0

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