Enunciado

Sejam a ∈ R e f : R → R uma função definida no ponto a . Se lim x → a ⁡ f x - f a x - a = m , prove que f é contínua no ponto a .

Passo 1

Vamos lá, para que a função f seja contínua no ponto a devemos ter que lim x → a ⁡ f x exista e que:

lim x → a ⁡ f x = f a

Vamos manipular um pouco esse limite:

lim x → a ⁡ f x = f a → lim x → a ⁡ f x - f a = 0

Passo 2

Agora vamos multiplicar e dividir a expressão do limite por x - a :

lim x → a ⁡ f x - f a = 0 → lim x → a ⁡ f x - f a x - a ⋅ x - a = 0 → lim x → a ⁡ f x - f a x - a ⋅ lim x → a ⁡ x - a = 0

Pelo enunciado temos que:

lim x → a ⁡ f x - f a x - a = m

Agora é só substituir:

lim x → a ⁡ f x - f a x - a ⋅ lim x → a ⁡ x - a = 0 → m ⋅ a - a = 0 → m ⋅ 0 = 0 → 0 = 0

Pronto, provamos que f é contínua no ponto a .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine, se existirem, os valores de x ∈ D f , nos quais a função f x não é contínua. f x = x 2 - 3 x + 4 x - 1 ,x ≠ 1 1 , x = 1
Sejam f , g e h funções tais que, para todos x , f x ≤ g x ≤ h x . Se f e h são contínuas no ponto x = a e f a = g a = h a , prove que g é contínua no ponto a .
Investigue a continuidade nos pontos indicados: f x = x 2 , x ≥ - 1 1 - x , x- 1e mx = - 1
Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções: f x = x x , x ≠ 0 - 1 , x = 0
Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas. f x = x 2 + 3 x - 1 x 2 - 6 x + 10