Enunciado

Se g x , y = x 2 + y 2 - 4 x , encontre o vetor gradiente ∇ g 1,2 e use-o para encontrar a reta tangente à curva de nível g x , y = 1 no ponto 1,2 . Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente.

Passo 1

Fala aí! Precisamos encontrar a reta tangente, o vetor gradiente e esboçar a curva de nível dessa função… Bastante coisa, né? Mas relaxa que a gente dá conta de tudo juntos!

Vamos começar encontramos as derivadas parciais das coordenadas da equação, ok? Depois disso é partir para o cálculo do vetor gradiente, e multiplicando ele pelos eixos menos a coordenada do vetor gradiente vamos encontrar a equação da reta tangente… Ufa! Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro encontrando as derivadas parciais, vamos ter:

g x = d d x x 2 + y 2 - 4 x g y = d d y x 2 + y 2 - 4 x

g x = 2 x - 4 g y = 2 y

Temos então que:

∇ g x , y = 〈 2 x - 4,2 y 〉

E substituindo o dado do enunciado, ∇ g 1,2 , vamos ter:

∇ g 1,2 = 〈 2   .   1 - 4   ,   2   .   2 〉

∇ g 1,2 = 〈 - 2   , 4 〉

Show de bola! Vamos continuar!

Passo 3

Agora vamos encontrar a equação da reta tangente, beleza?

∇ g 1,2   .   〈 x - 1 , y - 2 〉 = 0

〈 - 2   , 4 〉   .   〈 x - 1 , y - 2 〉 = 0

- 2 x - 1 + 4 y - 2 = 0

- 2 x + 2 + 4 y - 8 = 0

- 2 x + 4 y - 6 = 0

Simplificando todo mundo por 2 , vamos ficar com:

- x + 2 y - 3 = 0

- x + 2 y = 3

Uhul! Conseguimos!

Resposta

O vetor gradiente será:

∇ g 1,2 = 〈 - 2   , 4 〉

A equação da reta tangente é:

- x + 2 y = 3

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14.47. Se f x , y = x 2 + 4 y 2 , determine o vetor gradiente ∇ f 2,1 e use-o para determinar a reta tangente à curva de nível da função f x , y = 8 no ponto 2,1 . Esboce as curvas de nível, reta tang