Enunciado

14.47. Se f x , y = x 2 + 4 y 2 , determine o vetor gradiente ∇ f 2,1 e use-o para determinar a reta tangente à curva de nível da função f x , y = 8 no ponto 2,1 . Esboce as curvas de nível, reta tangente e vetor gradiente.

Passo 1

Beleza, vamos lá...

Temos que determinar o vetor gradiente, e a gente calcula ele assim

∇ f x , y = < ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y >

Então

∇ f x , y = < 2 x ,   8 y >

Passo 2

Agora vamos achar à reta tangente, e como o exercício já nos diz, precisaremos de ∇ f ( 2,1 ) então vamos calcular

∇ f 2 , 1 = < 2 2 ,   8 1 >

Passo 3

Agora vamos igualar as derivadas à 0.

f x = y c 2 ⋅ a 2 b 2 - 2 b 2 x 2 - a 2 y 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 - b 2 c 2 x 2 - a 2 c 2 y 2 1 2 = 0

f y = x c 2 ⋅ a 2 b 2 - 2 a 2 y 2 - b 2 x 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 - b 2 c 2 x 2 - a 2 c 2 y 2 1 2 = 0

De f x podemos tirar que, y = 0 ou a 2 b 2 - 2 b 2 x 2 - a 2 y 2 = 0 , vamos isolar y

a 2 y 2 = a 2 b 2 - 2 b 2 x 2

y 2 = a 2 b 2 - 2 b 2 x 2 a 2

Agora vamos fazer isso em f y , onde só precisamos x = 0 ou que a 2 b 2 - 2 a 2 y 2 - b 2 x 2 = 0 , então

a 2 b 2 - 2 a 2 a 2 b 2 - 2 b 2 x 2 a 2 - b 2 x 2 = 0

b 2   x 2 = a 2 b 2 - 2 a 2 a 2 b 2 - 2 b 2 x 2 a 2

b 2 x 2 = a 2 b 2 - 2 a 2 b 2 - 4 x 2 b 2

3 b 2 x 2 = - a 2 b 2

x = - a 3

Mas y 2 = a 2 b 2 - 2 b 2 x 2 a 2

então

y 2 = a 2 b 2 - 2 b 2 a 2 3 a 2

y 2 = b 2 - 2 b 2 3

y = b 3

Passo 4

Agora nós temos o par de ponto ( x , y ) então podemos achar o ponto z

z = a 2 b 2 c 2 - b 2 c 2 a 2 3 - a 2 c 2 b 2 3 1 2 a 2 b 2

z = c 1 - 1 3 - 1 3 1 2

z = c 3

Então o volume é

V = 2 x ⋅ 2 y ⋅ 2 z = 8   a 3 ⋅ b 3 ⋅ c 3 = 8 3 3 a b c

Resposta

x = - a 3

y = b 3

z = c 3

V = 8 3 3 a b c

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