1.

Seja f x , y = x 3 - y 2 . Considere as curvas de nível

C 0 = x , y ∈ R 2   |   f x , y = 0

e

C - 1 = x , y ∈ R 2   |   f x , y = - 1

f) Encontre apenas um ponto x 0 , y 0 de C - 1 onde a reta tangente à C - 1 neste ponto é paralela à reta 2 x - y = 1 . Dica: Levem em conta que x = 2 é solução da equação - 9 16 x 4 + x 3 + 1 = 0 e t = 6 é solução de 2 3 t 2 3 - 1 4 t 2 = - 1 .

Resolução
2.

Considere a função f x , y = x 2 - 2 x y + y 3 - y .

f) Considere a curva de nível C : x 2 - 2 x y + y 3 - y = 3 . Exiba a equação paramétrica da reta tangente γ a C no ponto 1 , - 1 .    

Resolução
3.

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável tal que C = x , y ∈ R 2     f x , y = 0 }   é uma curva no plano. Sabendo que P 0 = 1,1 ∈ C e que o gradiente de f no ponto P 0 é o vetor ( 2,1 ) , podemos afirmar que a equação da reta tangente a C em P 0 é:

(a) x + y = 2 .

(b) 2 x + y = 2 .

(c) x + 2 y = 3 .

(d) 2 x + y = 3 .

Resolução
4.

Seja g x , y = f x 2 + y 2 , em que f é uma função diferenciável.

b) Sabendo que f ' 2 = 1 , determine a equação da reta tangente à curva de nível de g que passa pelo ponto 1,1 .

Resolução
5.

Considere a superfície S   dada pela equação cos ⁡ π x - x 2 y + e x z + y z = 4 . Qual curva abaixo é tangente a S no ponto 0,1 , 2 ?

  1. σ t = t e t ,   1 - t e t , 2   em t = 0
  2. σ t = t e t ,   1 + t e - t , 2   em t = 0
  3. σ t = t e t ,   1 + t e t , 2   em t = 0
  4. σ t = t e t ,   1 - t e t , 0   em t = 0
  5. Não sei
Resolução
6.

Seja

f x , y = x 2 y 4 + x 4 y ²

E C a curva de nível 2 de f . A equação da reta tangente a C em ( 1 , - 1 ) é:

  1.   y = x - 2
  2. y = - x
  3.   y = - 3 x + 2
  4.   y = x + 2
Resolução
7.

Considere as superfícies:

S 1 = x , y , z ∈ R 3   ,   z - y 2 - x 2 + 2 x + 2 y = 2

S 2 = x , y , z ∈ R 3   ; z - 2 x - 2 y = - 2

Seja C a curva espacial dada por C = S 1 ∩ S 2 .

  1. Encontre a equação cartesiana do plano tangente à S 1 em 2 , 4,10
  2. Exiba uma parametrização:
  3. α   : a , b → R 3 ,   α a , b = t r a ç o   d e   α = C

    Explicitando a ,   b ,   α ( t ) e a ' ( t ) com t ∈ [ a , b ]

  4. Dê a parametrização da reta tangente à C em 2 , 4,10 ∈ C , explicitando um vetor diretor dessa reta (não nulo).
  5. Exiba um ponto x 0 , y 0 , z 0 ∈ C tal que a reta tangente neste ponto seja paralela ao plano x z .
  6. Dado 2 , 4,10 ∈ C , exiba o vetor diretor v da reta r ⊂ R 3 que satisfaz as seguintes propriedades:

- r é perpendicular a reta tangente a C em ( 2 , 4,10 )

- r está contida no plano tangente a S 1 em ( 2 , 4,10 )

Resolução
8.

Seja

h x , y = e - 2 x + 2 cos ⁡ 2 y , - e - 2 x + 2 sen ⁡ 2 y + 1   ,     ( x , y ) ∈ R 2

Seja

u x , y = e - 2 x + 2 cos ⁡ 2 y

v x , y = - e - 2 x + 2 sen ⁡ 2 y + 1

Seja f : R 2 → R   ,   u , v → f ( u , v ) , uma função que pode ser diferenciada à vontade com respeito à u e á v .

Considere a composta

g x , y = f h x , y   ,   ( x , y ) ∈ R 2

Assuma que

f 1,1 = c

f u 1,1 = a

f v 1,1 = b

a , b , c ≠ 0

  1. Calcule ∇ g ( 1,0 ) em termo de a ,   b .
  2. Considere a curva de nível D = x , y ∈ R 2   g x , y = c } . Exiba a equação cartesiana da reta tangente à D em ( 1,0 ) , justificando que ( 1,0 ) ∈ D .
Resolução
9.

Seja

f x , y = 4 x 2 + y 2

Determine a equação da reta tangente a curva de nível de f x , y que passa pelo ponto 1,2 .

  1. 2 x + y - 4 = 0
  2. x - 2 y + 5 = 0
  3. x + y - 3 = 0
  4. 8 x + 2 y - 4 = 0
  5. 4 x + y - 6 = 0
Resolução

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