Enunciado

9 - Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada à esquerda pela parábola x = y 2 + 1   e à direita pela reta x = 5 em torno:

  1. Do eixo x
  2. Do eixo y
  3. Da reta x = 5

Passo 1

Observe a imagem abaixo:

Para calcular o volume usaremos o método do anel:

V =   ∫ a b π R y 2 - r y 2 d y

Primeiramente se observarmos na imagem os pontos para o eixo y, são 2 e -2, estes será nosso limites de integração.

Temos: f y = y 2 + 1 , sendo R y = 5

Os limites de integração pelo enunciado é a = - 2   e   b = 2 .

Sendo:

5 2 = 25   e   y 2 + 1 2 =   y 4 + 2 y 2 + 1

Passo 2

Inserindo na integral, dado pela figura os limites de integração: a = - 2   e   b = 2 .

V = π ∫ - 2 2 25 - y 4 - 2 y 2 - 1   d y

V = π ∫ - 2 2 2 4 - y 4 - 2 y 2   d y

Resolvendo os limites de integração:

π 24 y - y 5 5 - 2 y 3 3 - 2 2

Subsituindo com os limites:

π 24 ⋅ 2 - 2 5 5 - 2 ⋅ 2 3 3 - 24 ⋅ - 2 - - 2 5 5 - 2 ⋅ - 2 3 3

π 48 - 32 5 - 16 3 - - 48 + 32 5 + 16 3

π 96 - 64 5 - 32 3  

Resolvendo os colchetes:

π 1440 - 192 - 160 15 = π 1088 15 = 1088 π 15   u . v .

Resposta

1088 π 15   u . v .

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