Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

y 2 ≤ x ≤ y

Passo 1

Nessa questão utilizaremos a fórmula diferente das que estávamos utilizando, porquê?

É simples! Quem está isolado é o x e não o y , você deve estar pensando nesse momento:

Sou obrigado a concordar com o Palestrinha!

Então vamos lá!

y 2 ≤ x

Região interna da parábola em x

x ≤ y

E agora a interseção entre todos os gráficos! Em verdeee!

Passo 2

Igualando as funções a esquerda e a direita da inequação y 2 ≤ x ≤ y

y 2 = y

y 4 = y

y y 3 - 1 = 0

De raízes iguais a 0 e 1 , que são os limites de integração das duas funções!

Vamos organizar as ideias, chamaremos de V 1 , o volume delimitado pela função x = y , x 2 = y ,   com limite de integração de 0   a   1 .

V 2 , o volume delimitado pela função   x = y 2 ,   x 2 = y 4 e com limite de integração de 0   a   1

O nosso volume será dado pela subtração entre V 1 e V 2

Lembrando que essa é a fórmula alternativa que estamos usando!

V = π ∫ x 2 d y

Passo 3

Faremos o cálculo de V 1 , vem comigo!

V 1 = π ∫ 0 1 y d y = π y 2 2 1 0 = π 2

Faremos agora o cálculo de V 2 , não se intimide, continuaremos:

V 2 = π ∫ 0 1 y 4 d y = π y 5 5 1 0 = π 5

Acabaremos nesse momento, fazendo nossa querida subtração! Vamos!

V = V 1 - V 2 = π 2 - π 5 = 3 π 10

Resposta

V = 3 π 10

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