Enunciado

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8 - Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região "triangular" limitada pela curva y   = 4 x 3 e pelas retas x = 1 e y   = 1 2 em torno:

  1. Do eixo x
  2. Do eixo y
  3. Da reta x = 2
  4. Da reta y = 4

Passo 1

Observe a imagem abaixo:

Para calcular o volume usaremos o método da casca:

V =   ∫ a b 2 π r a i o   d a   c a s c a ⋅ a l t u r a   d a   c a s c a d x

Os limites de integração pelo enunciado é a = 1   e   b = 2 .

Sendo:

R x = 4 x 3   e   r x = 1 2

Passo 2

Inserindo na integral, dado pela figura os limites de integração: a = 1   e   b = 2 .

V = 2 π   ∫ 1 2 x 4 x 3 - 1 2     d x

V = 2 π ∫ 1 2 4 x x 3 - 1 2 x d x = 2 π ∫ 1 2 4 ⋅ x - 2 - 1 2 x d x

Resolvendo os limites de integração:

2 π 4 ⋅ x - 2 + 1 - 2 + 1 - 1 2 ⋅ x 2 2 1 2 = 2 π - 4 ⋅ x - 1 - x 2 4 1 2

Subsituindo com os limites:

2 π - 4 ⋅ 1 2 - 2 2 4 - - 4 1 - 1 4

2 π - 2 - 1 - - 4 - 1 4  

2 π - 3 + 4 + 1 4

2 π 1 + 1 4

Resolvendo os colchetes:

2 π 4 + 1 4 = 2 π 5 4 = 5 2 π   u . v .

Resposta

5 2 π   u . v .

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Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtid