Lista de Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

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Considere a região delimitada pelo gráfico da função f x = x 2 + 1 e pelo eixo x , com x ∈ 1 ,   2 .

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y .

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Encontre o volume obtido pela rotação da placa limitada por y = 0 , y = f x , x = 0 e x = π 2 - 1 , em torno do eixo y , sendo f x = c o s   ( x 2 + 1 )   .

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Seja R a região compreendida entre os gráficos de f x = 18 9 + x 2 e g x = x 3 para x   ϵ   [ 0,3 ] , como mostra a figura abaixo:

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno de O y .

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Seja D a região situada entre as curvas y = 1 12 , x = 1 , x = 3 e y = 1 x + x 3 . Calcule o volume do sólido S obtido fazendo girar a região D em torno do eixo y .

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Considere a região R delimitada pela parábola y = x 2 + 2 x - 4 e pela reta y = - 1 .

  ( b ) Considere S o sólido obtido pela rotação da região R ao redor da reta x = 2 . Escreva uma integral que calcule o volume de S .

( c ) Calcule o Volume de S .

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Seja R a região compreendida entre os gráficos de f x = 18 9 + x 2 e g x = x 3 para x   ϵ   [ 0,3 ] , como mostra a figura abaixo:

a Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno de O x .

b Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno de O y .

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pela curva y = cos ⁡ π x 2 , y = 0 e 0 ≤ x ≤ 1 .

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Seja R = x , y ∈ R 2 : x - 2 2 ≤ y ≤ 4 . Determine o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo O y .

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Considere a região plana R definida por

R = x ,   y ∈ R |   x ≤ 4 ,   - ln ⁡ x - 1 ≤ y ≤ 0

Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo y .

Letra b) Calcule o volume de S pelo método que preferir.

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Encontre o volume obtido pela rotação da placa limitada por y = 0 , y = f x , x = 0 e x = π 2 - 1 , em torno do eixo y , sendo f x = cos ⁡ ( x 2 + 1 ) .

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Considere a região R delimitada pela parábola y = x 2 + 2 x - 4 e pela reta y = - 1 .

( a ) Esboce a região R

( b ) Considere S o sólido obtido pela rotação da região R ao redor da reta x = 2 . Escreva uma integral que calcule o volume de S .

( c ) Calcule o Volume de S .

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g Ache o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da placa definida por:

0 < x < 1   ; x 5 + x + 1 < y < 3

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Encontre o volume gerado pela rotação da região limitada

R = { ( x , y ) ∈ R 2 ;     0 ≤ y ≤ x 2 - x 3 }

em torno da reta x = - 1 .

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Seja D a região situada entre as curvas y = 1 12 , x = 1 , x = 3 e y = 1 x + x 3 . Calcule o volume do sólido S obtido fazendo girar a região D em torno do eixo y .

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Seja f x = 1 x - 1 . Considere a região ilimitada R , entre o eixo O x , o gráfico de f , a reta x = 1 e a reta x = 2 . Calcule, se possível, o volume obtido pela rotação de R ao redor da reta x = 1 .

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Q03) Considere a região plana R definida por:

R = x , y ∈ I R 2 x ≥ 0   , arctan ⁡ x ≤ y ≤ π 4

Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo y

  1. Esboce abaixo a região plana R
  2. Utilizando o Método de Discos, determine uma integral que forneça o volume de S
  3. Utilizando o Método de Cascas, determine uma integral que forneça o volume de S
  4. Calcule o volume de S pelo método que preferir.

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Em cada um dos exercícios 7 a 10 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método das cascas cilíndricas, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.

10 .   R : y = l n x   ,   y = 0   ,   x = e 2             E : e i x o   x

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Em cada um dos exercícios 11 a 14 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da R em torno do eixo E dado.

11 .   R : y = x 3 ,   y = 0 , x = 2 ;

            E : e i x o   y

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Seja R a região delimitada pelas curvas y = x 2 + 4 x + 2 , y = x + 2

a Esboce a região R

b Determine a área da região

c Calcule o volume do sólido obtido pela rotação desta região ao redor da reta x = 3

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Considere a região R limitada pelas curvas y = - x 3 - 1 , pelo eixo O Y e pela reta y = x + 1 .

a Faça um esboço da região R .

b Escreva uma única integral que expresse a área da região R . Não precisa calcular a integral.

c Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo O Y .

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Fixado m > 0 , considere a região R delimitada pelas curvas y = 1 x ,   x = m ,   x = 2 m e y = 0 . Considere também o sólido W dado pela rotação de R em torno do eixo y . Se A é a área de R e V é o volume de W , então:

  1. A não depende de m e V é diretamente proporcional a m
  2. A é diretamente proporcional a m e V é diretamente proporcional a m 2
  3. A é diretamente proporcional a m 2 e V é diretamente proporcional a m 3
  4. A e V são diretamente proporcionais a m 2
  5. A e V são diretamente proporcionais a m

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Considere a região R delimitada pelas curvas x = 1 , y = x + 1 , y = e - x

  1. Esboce a região R .
  2. Escreva a integral, ou soma de integrais, que determina(m) o volume sólido obtido pela rotação da região acima ao redor do eixo y .
  3. Calcule o volume do sólido do item acima.

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Seja R a região delimitada pelas curvas y = x e y = x 2 - 3 x

  1. Esboce a região R
  2. Escreva a integral, ou soma de integrais, que determina(m) o volume do sólido obtido pela rotação da região acima ao redor da reta x = - 2
  3. Calcule o volume da sólido do item acima.

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Considere a região plana R definida por:

R = x , y ∈ I R 2 0 ≤ x ≤ π 2   , 4 x π ≤ y ≤ 1 + sin ⁡ x

(a.1) Esboce a região plana R

(a.2) Escreva a área da região R como uma integral na variável x

(a.3) Escreva a área da região R como uma soma de integrais na variável y

Seja S um sóldio de revolução obtido pela rotação da região R em torno do eixo x

(b.1) Utilizando o Método de Discos, escreva o volume de S como uma integral na variável x

(b.2) Utilizando o Método de Cascas Cilíndricas, escreva o volume de S como uma soma de integrais na variável y

(b.3) Calcule o volume de S pelo método que preferir

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Seja R a região plana definida por:

R = x , y ∈ I R 2 x ≤ y ≤ 1 + e x   ,   0 ≤ x ≤ 2

Considere S o sólido de revolução obtido através da rotação da região R em torno do eixo y .

(a) Esboce a região R

(b) Usando o método que preferir, escreva o volume de S como uma integral ou como uma soma de integrais.

(c) Calcule o volume de S.

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5) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da área finita delimitada pelas curvas y = x 2   e y = x

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Considere a região plana R definida por:

R = x , y ∈ I R 2   0 ≤ x ≤ 1   ; 0 ≤ y ≤ 1 + e x

Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo y

  1. Esboce abaixo a região plana R
  2. Utilizando o Método dos Discos, determine uma soma de duas integrais que forneça o volume de S . Obs: Nesse item não é necessário calcular a integral
  3. Utilizando o Método de Cascas, determine uma integral que forneça o volume de S . Obs: Nesse item não é necessário calcular a integral
  4. Calcule o volume de S pelo método que preferir

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Considere as funções f x = ln ⁡ x + 1 e g x = 2 + e x - 1 e a região plana R descrita abaixo:

R = x , y ∈ I R 2 f x ≤ y ≤ g x   ;   0 ≤ x ≤ 1  

Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo y

  1. Esboce a região R
  2. Determine f - 1 x e g - 1 x (as expressões das funções inversas de f e g , respectivamente)
  3. Utilizando o método que preferir, escreva o volume de S como uma integral ou soma de integrais. Obs.: Neste item não é necessário calcular o volume

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Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno da reta y = 9 , da região

A = { ( x , y ) ∈ R 2   : y ≥ x 2 , y ≤ x - 3 2 , y ≤ x + 3 2 }

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Seja f x = x e - 2 x definida em 0 ,   + ∞ e R a região delimitada pelo gráfico da função f e o eixo x . Calcule o volume do sólido gerado ao se rotacionar a região R ao redor do eixo y .

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