Enunciado

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los.

35 – A região limitada por y = x   e y = x 2 8 , em torno:

A – Do eixo x.

Passo 1

Vamos entender primeiramente o que o gráfico nos implica:

A parte verde foi gerada através do gráfico da função: y =   x e a parte preta foi gerada através do gráfico da função: y = x 2 8 .

Deste modo temos que nas coordenada de y a figura é limitada a = 0   e   b = 2

Já para as coordenadas de x ela está limitada em a = 0   e   b = 4

Este será nosso lmite de integração através dos eixos, porém temos que ter em mente que quando a figura rotaciona em torno de um eixo seus valores mudam, deste modo rotacionando em torno do eixo x seus limites serão: a = 0   e   b = 2 e em torno do eixo y a = 0   e   b = 4 .

Assim como a função mudará, vamos descobrir a expressão em torno do eixo x:

y =   x

Utilizando a propriedade de potenciação e elevando os dois itens ao quadrado:

y 2 = x → x = y 2

Na segunda expressão:

y = x 2 8 → 8 y = x 2 ⇒ x = 8 y

Com nossa expressão original do enunciado já está em torno do eixo y, não precisaremos mudar as expressões, vamos lá?

Passo 2

Resolver em torno do eixo x:

Fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ⋅ a l t u r a   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = 2 π ∫ 0 2 y 8 y   - y 2   d y

V = 2 π ∫ 0 2 y 8 y - y 3 d y  

Poderemos escrever a expressão: 8 y   da seguinte forma: 2 2 ⋅ y 1 2 , assim:

V = 2 π ∫ 0 2 2 2 ⋅ y 1 2 + 1 - y 3   d y

Utilizaremos a regra dos sinais para separar as integrais:

V = 2 π 2 2 ∫ 0 2 y 3 2 d y -   ∫ 0 2 y 3   d y

Resolvendo a integral teremos:

2 π 2 2 ⋅ y 3 2 + 1 3 2 + 1 - y 3 + 1 3 + 1 0 2

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π 2 2 ⋅ 2 y 5 5 - y 4 4   0 2

Resolvendo:

2 π 2 2 ⋅ 2 2 5 5 - 2 4 4 - 0 = 2 π 2 2 2 6 5 - 16 4 = 2 π 2 2 ⋅ 2 3 5 - 4 = 2 π 2 5 5 - 4

Resolvendo dentro dos colchetes:

2 π 32 5 - 4 = 2 π 32 - 20 5 = 2 π 12 5 = 24 π 5 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

24 π 5   u . v .

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