Enunciado

10. Uma chapa de metal aquecida está situada no plano x y de tal modo que a temperatura é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em 3,4 é de 100 graus. Suponha que os eixos 0 x e 0 y apontam, respectivamente, para leste e norte. Um objeto se encontra no ponto P 0 = 2,2 .

d) Na direção e sentido de quais vetores o objeto deve se mover, a partir de P 0 , para que sua temperatura permaneça constante?

Passo 1

Dizer que a temperatura deve permanecer constante é o mesmo que dizer que ∇ f ( 2,2 ) . v = 0

pois isso nos diz que f tem variações de módulos iguais, o que é suficente para responder a pergunta, pois a temperatura varia em função da distância e se uma coordenada compensa a variação de outra, temos que a distância não deve variar. Agora vamos as contas: ∇ f . v = - 500.2 ( x 2 + y 2 ) 3 , - 500.2 ( x 2 + y 2 ) 3 . v 1 , v 2 = - v 1 500.2 ( 2 2 + 2 2 ) 3 - v 2 500.2 ( 2 2 + 2 2 ) 3

= 100 - v 1 - v 2 ( 2 2 + 2 2 ) 3

Para que isso seja nulo, temos que

- v 1 - v 2 = 0 → v 1 = - v 2

Sendo assim, os vetores que satisfazem nossa condição são os vetores da forma v = ( v 1 , - v 1 )

Note que isso é algo que esperávamos, pois no exercício a), quando andamos na direção 1 , - 1 a nossa derivada se anula.

Resposta

Vetores na forma v = ( v 1 , - v 1 )

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