Enunciado

1-10. Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t onde

1. f (t) = {[[2 , s e |t| <= 1],[0 , s e |t| > 1]])

Passo 1

Show de bolinhas galera, queremos expressar o gráfico da função definida por partes F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t onde

f (t) = {[[2 , s e |t| <= 1],[0 , s e |t| > 1]])

Iradoso né galera, só aquele módulo ali que tá meio feio. Vamos fazer o seguinte, vamo pegar ele, fritar ele e fazer purê dele hahah brincadeirinha, vamos abrir esse módulo e ver se ele é isso tudo mesmo. Saca só, queremos o |t| (módulo de t ), quando ele se aproxima de 1, ou seja,

|t| = 1

t = +- 1

Logo podemos reescrever a função por partes como

f (t) = {[[2 , s e - 1 <= t <= 1],[0 , s e t < - 1 e t > 1]])

Tá começando a ficar bonito hehehe

Passo 2

Show de bola, isso quer dizer que a gente pode separar essa função em 3 casos de acordo com os intervalos, a nossa funçãozinha f ( t ) está variando em função de t , MAAAAASSSS a funçãozona F ( x ) está variando em função de x , isso quer dizer que o domínio do nosso espaço está em x in R , por esse motivo devemos separar os intervalos de x , da mesma maneira que os intervalos de t , e integrá-los separadamente. Saca só:

Se x < - 1 , temos que t < - 1 e f (t) = 0 .

F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t = int_(- oo)^x 0 d t

Se - 1 <= x <= 1 , temos que

F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t = int_(- oo)^(- 1) 0 d t + int_(- 1)^x 2 d t

E se x > 1 vamos ter que

F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t = int_(- oo)^(- 1) 0 d t + int_(- 1)^1 2 d t + int_1^x 0 d t

Portanto, podemos definir F ( x ) como

F (x) = {[[int_(- oo)^x 0,,,,,s,e,,x,<,-,1,],[int_(- oo)^(- 1) 0,d,t,+,int_(- 1)^x 2,d,t,,,,,s,e,-,1,<=,x,<=,1],[int_(- oo)^(- 1) 0,d,t,+,int_(- 1)^1 2,d,t,+,int_1^x 0,d,t,,,,,s,e,,x,>,1]])

F (x) = {[[0,,,,,s,e,,x,<,-,1],[2,x,+,2,,,,,s,e,-,1,<=,x,<=,1],[4,,,,,s,e,,x,>,1]])

Passo 3

Agora é só a gente pegar essa função definida por partes e esboçar o gráfico dela de acordo com os intervalos. Então para o primeiro intervalo, temos que x < - 1 e F (x) = 0 , logo

Se - 1 <= x <= 1 , temos que F (x) = 2 x + 2 , e o gráfico no intervalo é

E se x > 1 , F (x) = 4 e o gráfico fica no intervalo é

Portanto, junto todos esses gráficos, temos que o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t será

Agora tamo de boinhas fala memo hehehe

Resposta

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