1-10. Esboce o gráfico de F x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t onde

1. f t = 2 ,       s e   t ≤ 1 0 ,       s e   t > 1

Passo 1

Show de bolinhas galera, queremos expressar o gráfico da função definida por partes F x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t onde

f t = 2 ,       s e   t ≤ 1 0 ,       s e   t > 1

Iradoso né galera, só aquele módulo ali que tá meio feio. Vamos fazer o seguinte, vamo pegar ele, fritar ele e fazer purê dele hahah brincadeirinha, vamos abrir esse módulo e ver se ele é isso tudo mesmo. Saca só, queremos o t   (módulo de t ), quando ele se aproxima de 1, ou seja,

t = 1

t = ± 1

Logo podemos reescrever a função por partes como

f t = 2 ,       s e - 1 ≤ t ≤ 1 0 ,       s e   t < - 1   e   t > 1

Tá começando a ficar bonito hehehe

Passo 2

Show de bola, isso quer dizer que a gente pode separar essa função em 3 casos de acordo com os intervalos, a nossa funçãozinha f ( t ) está variando em função de t , MAAAAASSSS a funçãozona F ( x ) está variando em função de x , isso quer dizer que o domínio do nosso espaço está em x ∈ R , por esse motivo devemos separar os intervalos de x , da mesma maneira que os intervalos de t , e integrá-los separadamente. Saca só:

Se x < - 1 , temos que t < - 1 e f t = 0 .

F x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t = ∫ - ∞ x 0 d t

Se - 1 ≤ x ≤ 1 , temos que

F x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t = ∫ - ∞ - 1 0 d t + ∫ - 1 x 2 d t

E se x > 1 vamos ter que

F x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t = ∫ - ∞ - 1 0 d t + ∫ - 1 1 2 d t + ∫ 1 x 0 d t

Portanto, podemos definir F ( x ) como

F x = ∫ - ∞ x 0 ,     s e   x < - 1   ∫ - ∞ - 1 0 d t + ∫ - 1 x 2 d t ,     s e - 1 ≤ x ≤ 1 ∫ - ∞ - 1 0 d t + ∫ - 1 1 2 d t + ∫ 1 x 0 d t ,     s e   x > 1  

F x = 0 ,     s e   x < - 1 2 x + 2 ,     s e - 1 ≤ x ≤ 1 4 ,     s e   x > 1  

Passo 3

Agora é só a gente pegar essa função definida por partes e esboçar o gráfico dela de acordo com os intervalos. Então para o primeiro intervalo, temos que x < - 1 e F x = 0 , logo

Se - 1 ≤ x ≤ 1 , temos que F x = 2 x + 2 , e o gráfico no intervalo é

E se x > 1 , F x = 4 e o gráfico fica no intervalo é

Portanto, junto todos esses gráficos, temos que o gráfico de F x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t será

Agora tamo de boinhas fala memo hehehe

Resposta

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