Enunciado

Suponha f integrável em a , t , para todo t   ≥ a , com f x ≥ 0 em [ a , + ∞ [ . Suponha que existem um a real e uma função g tais que, para todo x ≥ a , f x = 1 x a g x . Suponha além disso que l i m x → + ∞   g x = L > 0 ( L real). Prove

  1. a > 1 ⟹ ∫ a + ∞ f ( x ) d x convergente
  2. a ≤ 1 ⟹ ∫ a + ∞ f ( x ) d x divergente

Passo 1

Lembrando a definição de que se f integrável em a , t , para todo t   > a , se ∫ a + ∞ f ( x ) d x = ± ∞ , a integral é divergente. Se ao invés disso o resultado for um número finito, a integral é convergente.

Passo 2

Resolvendo a “letra a”, vamos supor que a integral de g x = 1 , afinal, ele diz para gente provar que existe uma função g ( x ) , então, g pode ser 1 , certo? Nada nos impede kkk. Resolvendo a integral:

∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim n → + ∞ ⁡ ∫ a n 1 x a d x = lim n → + ∞ ⁡ ∫ a n x - a d x

= lim n → + ∞ ⁡ n - a + 1 - a + 1 - a - a + 1 - a + 1

= lim n → + ∞ ⁡ 1 ( - a + 1 ) n a - 1 - a - a + 1 - a + 1

Então, se a > 1 → a - 1 > 0 e aquele n permanece no denominador! Logo, quando n → + ∞ 1 ( - a + 1 ) n a - 1 → 0 e:

= lim n → + ∞ ⁡ 0 - a - a + 1 - a + 1 = - a - a + 1 - a + 1

Como a é um número real, - a - a + 1 - a + 1 será um número real e, portanto, a integral converge!

Passo 3

Resolvendo a “letra b”. Pelo mesmo raciocínio, vamos parar no mesmo limite para a < 1 :

lim n → + ∞ ⁡ 1 ( - a + 1 ) n a - 1 - a - a + 1 - a + 1

Mas, agora, como a < 1 , nós teremos um expoente em n negativo, o que faz o n ir para o numerador:

lim n → + ∞ ⁡ n - a + 1 ( - a + 1 ) - a - a + 1 - a + 1

Dessa forma, quando n → + ∞ → n - a + 1 ( - a + 1 ) → + ∞ e:

= lim n → + ∞ ⁡ + ∞ - a - a + 1 - a + 1 = + ∞

Como o limite deu , a integral diverge!

Passo 4

E para a = 1 ? Teríamos isso:

∫ 1 + ∞ f ( x ) d x = lim n → + ∞ ⁡ ∫ 1 n 1 x d x

= lim n → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( n ) - l n ⁡ ( 1 )

= lim n → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( n )

E esse limite explode para o infinito também!! Logo, a integral também diverge!

Resposta

Explicação no passo a passo.

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