Enunciado

11-12 Encontre todos os valores de x * no intervalo dado que satisfazem a Equação ( 8 ) do Teorema do valor médio para Integrais ( 5.6 . 2 ) e explique o que esses números representam.

11. (a) f x = x ; [ 0,3 ]

(b) f x = x 2 + x ; [ - 12,0 ]

Passo 1

Vou começar mostrando essa famigerada equação 8, que ele diz. É na verdade o Teorema do Valor Médio.

∫ a b f x d x = f (   x   * ) ( b - a )

Basicamente, o que esse teorema diz é que existe uma função constante que tem área igual o valor da integral, é o mesmo conceito que você verá em Força Média!!

Passo 2

Utilizando a Equação 8, temos:

∫ 0 3 x d x = f (   x   * ) ( 3 - 0 )

Vamos calcular a integral abaixo:

∫ 0 3 x d x

Antes vamos fazer a integral indefinida:

∫ x d x = ∫ x 1 2 d x = 1 1 + 1 2 x 1 2 + 1 = 1 3 2 x 3 2 + C = 2 3 x 3 2 + C

Usaremos a antiderivada 2 3 x 3 2 , voltando para a integral definida, temos:

∫ 0 3 x d x = 2 3 x 3 2 3 0 = 2 3 3 3 2 - 2 3 0 3 2 = 2 3 3 3 2

Agora vamos ajeitar essa paradinha aqui ò:

2 3 3 3 2 = 2 3 3 3 = 2 3 3 3 = 2 3

Voltando, temos:

∫ 0 3 x d x = 2 3

Agora, utilizando o Teorema do valor médio:

∫ 0 3 x d x = f (   x   * ) ( 3 - 0 )

2 3 = 3 f (   x   * )

f   x   * = 2 3 3

Agora temos que calcular o valor   x   * .

Se f   x   * = 2 3 3

Então:

  x   * = 2 3 3

Elevando ao quadrado:

  x   * = 4 × 3 9 = 4 3

  x   * = 4 3

Passo 3

Utilizando a Equação 8, temos:

∫ - 12 0 ( x 2 + x ) d x = f (   x   * ) ( 0 - ( - 12 ) )

Vamos calcular a integral abaixo:

∫ - 12 0 ( x 2 + x ) d x

Antes vamos fazer a integral indefinida:

∫ ( x 2 + x ) d x = ∫ x 2 d x + ∫ x d x = x 3 3 + x 2 2 + C

Usaremos a antiderivada x 3 3 + x 2 2 , voltando para a integral definida, temos:

∫ - 12 0 ( x 2 + x ) d x = x 3 3 + x 2 2 0 - 12 = 0 3 3 + 0 2 2 - - 12 3 3 + - 12 2 2 = - - 1728 3 + 144 2

= - - 576 + 72 = 50 4

Agora, utilizando o Teorema do valor médio:

∫ - 12 0 ( x 2 + x ) d x = f (   x   * ) ( 0 - ( - 12 ) )

504 = 12 f (   x   * )

f   x   * = 504 12 = 42

Agora temos que calcular o valor   x   * .

Se f   x   * = 42

Então:

(   x   * 2 +   x   * ) = 42

x   * 2 +   x   * - 42 = 0

  x   * = - 7     o u     x   * = 6

Tem de estar no intervalo de [ - 12,0 ] , então:

  x   * = - 7    

Resposta

a)   x   * = 4 3

b)     x   * = - 7

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