No Exercício   y = ∫ 2 x 1   t 3   d t   , determine dy/dx

Passo 1

Para determinar o valor de d y d x vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: d d x ∫ a b f ( x ) ⁡ d x = f b . ( b ) '

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar:

y = ∫ 2 x 1   t 3   d t  

y = - ∫ 1 2 x   t 3   d t  

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos derivando dos dois lados:

d y d x = d d x - ∫ 1 2 x   t 3   d t    

d y d x = - d d x ∫ 1 2 x   t 3   d t  

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar o Teorema fundamental do Cálculo:

d y d x = - d d x ∫ 1 2 x   t 3   d t  

= -   2 x 3     .   ( 2 x ) '

Usando a fórmula:

d d x   a x = ln ⁡ a . a x

Substituimos no valor original:

= -   2 x 3     .   ln ⁡ 2 . 2 x

Resposta

d y d x = -   2 x 3     .   ln ⁡ 2 . 2 x

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