Enunciado

1-24. a) Use a Tabela de Integrais para calcular a integral.

b) Se o leitor dispuses de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em a).

4. ∫ 1 x 2 1 - 5 x d x

Passo 1

a) Então pessoal, para resolvermos essa integral vamos utilizar a técnica de frações parciais, tudo bem? Sendo assim, vamos simplificar essa divisão que nos foi dada em frações parciais, saca só:

1 x 2 1 - 5 x = A x + B x 2 + C 1 - 5 x

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador, teremos:

x 2 1 - 5 x x 2 1 - 5 x = x 2 1 - 5 x A x + x 2 1 - 5 x B x 2 + x 2 1 - 5 x C 1 - 5 x

Simplificando, teremos:

1 = x 1 - 5 x A + 1 - 5 x B + x 2 C

1 = A x - 5 A x 2 + B - 5 B x + C x 2

1 = x 2 C - 5 A + x A - 5 B + B

Então o sistema será:

C - 5 A = 0 A - 5 B = 0 B = 1

Disso tiramos que A = 5 e C = 25 . Tendo isso em vista, a integral que temos que resolver é:

∫ 1 x 2 1 - 5 x d x = 5 ∫ 1 x d x + ∫ 1 x 2 d x - 25 ∫ 1 5 x - 1 d x

Passo 2

Para a primeira integral temos um resultado tabelado, pessoal:

5 ∫ 1 x d x = 5 ln ⁡ x + C 1

Para a segunda integral temos:

∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C 2

E, por fim, para a terceira integral, temos:

- 25 ∫ 1 5 x - 1 d x = - 5 ln ⁡ 5 x - 1 + C 3

Juntando as integrais, teremos:

∫ 1 x 2 1 - 5 x d x = - 1 x + 5 ln ⁡ 1 - 5 x x + C

E esse é o nosso resultado, galera!

Passo 3

b) Então pessoal, o enunciado não nos obriga a utilizar de um CAS para confirmar nosso resultado, apenas sugere que façamos isso. Caso você tenha e consiga programar um para a integral em questão, não tem problema, pode fazer! Mas a princípio ficamos com o resultado a mão, tudo jóia? É isso, pessoal! 😉

Resposta

a) ∫ 1 x 2 1 - 5 x d x = - 1 x + 5 ln ⁡ 1 - 5 x x + C

b) Explicado no passo 3.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção. ∫ e x 1 - e 2 x d x
a Calcule a integral ∫ s e n x cos ⁡ x d x usando a substituição u = s e n x . b Calcule a integral ∫ s e n x cos ⁡ x d x usando a identidade s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x . c Explique por que as resp
O que é uma constante de integração? Por que a resposta de um problema de integração envolve uma constante de integração?
Em cada parte, confirme que a fórmula está correta e enuncie uma fórmula de integração correspondente. d d x 1 + x 2 = x 1 + x 2
Em cada parte, confirme que a fórmula está correta e enuncie uma fórmula de integração correspondente.(b) d d x x e x = x + 1 e x