Enunciado

1-24. a) Use a Tabela de Integrais para calcular a integral.

b) Se o leitor dispuses de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em a).

3. ∫ 1 x 2 x + 5 d x

Passo 1

a) Então pessoal, para resolvermos essa integral vamos utilizar a técnica de frações parciais, tudo bem? Sendo assim, vamos simplificar essa divisão que nos foi dada em frações parciais, saca só:

1 x 2 x + 5 = A x + B 2 x + 5

Fazendo mmc, teremos:

1 = A 2 x + 5 + B x

1 = x 2 A + B + 5 A

Montando um sisteminha, teremos:

2 A + B = 0 5 A = 1

Da segunda equação tiramos que A = 1 5 , logo:

B = - 2 5

Então a integral que temos que resolver é:

∫ 1 x 2 x + 5 d x = 1 5 ∫ 1 x d x - 2 5 ∫ 1 2 x + 5 d x

Passo 2

Para a primeira integral temos um resultado tabelado, pessoal:

1 5 ∫ 1 x d x = 1 5 ln ⁡ x + C 1

Para a segunda integral temos que fazer:

u = 2 x + 5

d u 2 = d x

Substituindo, teremos:

2 5 ∫ 1 2 x + 5 d x = 1 5 ∫ 1 u d u

Logo:

2 5 ∫ 1 2 x + 5 d x = 1 5 ln ⁡ 2 x + 5 + C 2

Juntando as duas integrais, teremos:

∫ 1 x 2 x + 5 d x = 1 5 ln ⁡ x 2 x + 5 + C

E esse é o nosso resultado, galera!

Passo 3

b) Então pessoal, o enunciado não nos obriga a utilizar de um CAS para confirmar nosso resultado, apenas sugere que façamos isso. Caso você tenha e consiga programar um para a integral em questão, não tem problema, pode fazer! Mas a princípio ficamos com o resultado a mão, tudo jóia? É isso, pessoal! 😉

Resposta

a) ∫ 1 x 2 x + 5 d x = 1 5 ln ⁡ x 2 x + 5 + C

b) Explicado no passo 3.

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