Enunciado

13-30. Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

22. ∫ 0 π 3 2 x - sec ⁡ x tan ⁡ x d x

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral em questão vamos nos lembrar da Parte 1 do TFC, tudo bem? Ele nos diz o seguinte:

“Se f for contínua em a ,   b e F for uma antiderivada de f nesse intervalo então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a ) "

Aqui vale ressaltar que F é o resultado da integral (antiderivada de f ), ok? Show! Tendo isso em vista, bora pra cima!

Passo 2

A integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ 0 π 3 2 x - sec ⁡ x tan ⁡ x d x

Como há uma subtração no integrando, podemos separar da seguinte forma:

∫ 0 π 3 2 x - sec ⁡ x tan ⁡ x d x = 2 ∫ 0 π 3 x d x - ∫ 0 π 3 sec ⁡ x tan ⁡ x d x

Show! Para a primeira integral podemos utilizar a seguinte regra:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Então teremos:

2 ∫ 0 π 3 x d x = 2 x 2 2 π 3 0 = x 2 π 3 0

Para a segunda integral: qual é a função que quando derivamos resulta em sec ⁡ x tan ⁡ x ? O resultado é:

∫ 0 π 3 sec ⁡ x tan ⁡ x d x = sec ⁡ x π 3 0

Passo 3

Agora que encontramos os resultados das duas integrais, vamos juntá-los novamente, se liga:

2 ∫ 0 π 3 x d x - ∫ 0 π 3 sec ⁡ x tan ⁡ x d x = x 2 π 3 0 - sec ⁡ x π 3 0

Aplicando o TFC, teremos:

x 2 π 3 0 - sec ⁡ x π 3 0 = π 3 2 - 0 - sec ⁡ π 3 - sec ⁡ 0 = π 2 9 - 2 - 1

∴ ∫ 0 π 3 2 x - sec ⁡ x tan ⁡ x d x = π 2 9 - 1

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

∫ 0 π 3 2 x - sec ⁡ x tan ⁡ x d x = π 2 9 - 1

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Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.20. ∫ - 3 3 t + 1 ( t 2 + 4 ) d t
Suponha que f tenha uma derivada positiva para todos os valores de x e que f 1 = 0 . Qual das seguintes afirmações deve ser verdadeira sobre a função g x = ∫ 0 x f td t Justifique sua resposta. g é um
Suponha que f tenha uma derivada positiva para todos os valores de x e que f 1 = 0 . Qual das seguintes afirmações deve ser verdadeira sobre a função g x = ∫ 0 x f td t Justifique sua resposta. g é um
Suponha que f tenha uma derivada positiva para todos os valores de x e que f 1 = 0 . Qual das seguintes afirmações deve ser verdadeira sobre a função g x = ∫ 0 x f td t Justifique sua resposta. g é um
Suponha que f ( 4 ) se ∫ 0 x f ( t )d t = x cos ⁡ π x .