Enunciado

14. Uma lâmpada está pendurada a 4,5 m de um piso horizontal. Se um homem com 1,80 m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5 m/s, qual a velocidade de crescimento da sombra?

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Identificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Imagine a situação e faça um diagrama:

Variáveis:

x-Distância de quando a sobra estava sob o homem a posição atual do homem.

y- Tamanho da sombra.

d- Distância percorrida pela ponta da sombra.

t- tempo

Passo 2

Como queremos a velocidade de crescimento da sombra, queremos a taxa de variação de y (falou em velocidade e taxa de variação lembre-se de derivadas), e para isso precisamos encontrar uma expressão que relacione y. Então, por semelhança de triângulos (observe a figura), temos:

y 1,80 = x + y 4,5 ⇒ 4,5 ⋅ y = 1,8 ⋅ x + y ⇒ 4,5 ⋅ y = 1,8 x + 1,8 y

⇒ 2,7 ⋅ y = 1,8 x ⇒ 27 10 y = 18 10 x ⇒ y = 18 27 x ⇒ y = 2 3 x

Passo 3

Agora que temos a equação que relaciona nossas variáveis. Vamos derivar implicitamente em relação a t, ou seja, vamos derivar em ambos os lados da igualdade em relação a t (pois estamos falando de velocidade).

y = 2 3 x ⇒ d y d t = 2 3 ⋅ d x d t

Passo 4

Como x está se referindo à posição, d x d t será a velocidade, que é de 1,5   m / s . Assim, d x d t = 1,5   m / s , ou d x d t = 3 2   m / s .

Substituindo na equação do passo anterior, temos:

d y d t = 2 3 ⋅ 3 2 = 1 m / s

Logo, a velocidade de crescimento da sombra é de 1 m / s .

Resposta

1 m / s

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