Enunciado

1-4. Seja f a função cujo gráfico é dado. Em quais (se houver) dos intervalos seguintes f é contínua?

3.

a) [ 1 ,   3 ]

b) ( 1 ,   3 )

c) [ 1 ,   2 ]

d) ( 1 ,   2 )

e) [ 2 ,   3 ]

f) ( 2 ,   3 )

Passo 1

Então pessoal, antes de respondermos as questões, devemos lembrar de um pequeno detalhe, que é a notação de ( ) e [ ] em intervalos! Quando há parênteses, isso implica que o intervalo é aberto, ou seja, a função não precisa estar definida exatamente no valor do intervalo, ok? Por outro lado, quando há colchetes, isso implica que o intervalo é fechado e a função está definida exatamente no valor do intervalo!

Outra coisa que vale ressaltar é que o limite não existe se os limites laterais não existirem, beleza? Sabendo disso já podemos responder as questões, então bora lá!

a) Então galera, aqui temos um intervalo fechado de 1 a 3 , ou seja, o intervalo está dizendo que a função é definida em 1 e definida em 3 também, mas isso não é o que vemos no gráfico! No gráfico a função não está definida nesses dois valores, então podemos dizer que o intervalo não é contínuo.

b) Diferentemente da letra a), como aqui o intervalo está aberto, não importa se a função está ou não definida em 1 e em 3 , então podemos dizer que o intervalo é contínuo nesse caso.

Passo 2

c) Pelo mesmo motivo da letra a), a função não está definida em f 1 e o intervalo diz que a função está. Dessa forma, podemos dizer que o intervalo não é contínuo.

d) O intervalo que nos foi dado é aberto, ou seja, não nos importa se a função está ou não definida em f 1 e f 2 , nos importa apenas se ela está definida nas proximidades destes pontos. Observando o gráfico conseguimos notar que, de fato, em f 1 a função não está definida, mas está definida em todos os outros pontos até x = 2 , então podemos dizer que o intervalo é contínuo.

Passo 3

e) Pelo mesmo motivo da letra a), a função não está definida em f 3 e o intervalo diz que a função está. Dessa forma, podemos dizer que o intervalo não é contínuo.

f) O intervalo que nos foi dado é aberto, ou seja, não nos importa se a função está ou não definida em f 2 e f 3 , nos importa apenas se ela está definida nas proximidades destes pontos. Observando o gráfico conseguimos notar que, de fato, em f 3 a função não está definida, mas está definida em todos os outros pontos anteriores até x = 2 , então podemos dizer que o intervalo é contínuo.

Resposta

a) Não é contínuo.

b) É contínuo.

c) Não é contínuo.

d) É contínuo.

e) Não é contínuo.

f) É contínuo.

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Se f e g forem funções contínuas com, f 3 = 5 e lim x → 3 ⁡ [ 2 f x - g x ] = 4 , encontre g ( 3 ) .
Esboce o gráfico de uma função que é contínua em toda parte, exceto em x = 3 e é contínua à esquerda em 3 .
Escreva uma equação que expresse o fato de que uma função f é contínua no número 4 .
a) Do gráfico de f , explique os pontos em que f é descontínua e explique por quê.b) Para cada um dos pontos indicados na parte (a), determine se f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles.
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .