Enunciado

14.28. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 40

Passo 1

A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício 39 da seção 7. O enunciado é esse:

“Determine os pontos da superfície x 2 y 2 z = 1 que estão mais próximos da origem.”

Seguinte, a nossa restrição fica dessa forma

g x , y , z = x 2 y 2 z = 1

Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer f x , y , z , essa seria uma equação para a distância do ponto para a origem.

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Vamos calcular o divergente

∇ f = < ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z >   = < 2 x ,   2 y , 2 z >

E também precisamos do divergente de g x , y

λ ∇ g = λ < ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z >   = < 2 λ x y 2 z ,   2 λ x 2 y z ,   λ x 2 y 2 >

Vamos começar fazendo

2 λ x y 2 z = 2 x

λ y 2 z = 1   ( 1 )

E

2 λ x 2 y z = 2 y

λ x 2 z = 1     ( 2 )

Finalmente

λ x 2 y 2 = 2 z   ( 3 )

Vamos lá, juntando as equações (1) e (2)

λ y 2 z = λ x 2 z

A gente corta o λ e o z

y 2 = x 2

Então

x = ± y

Agora vamos fazer (3) dividido por (2)

λ x 2 y 2 λ x 2 z = 2 z 1

Então

y 2 = 2 z 2

Ou seja

y = ± 2 z

Logo

x = ± 2 z

Passo 3

Agora vamos usar a equação de restrição

x 2 y 2 z = 1

Substituindo

2 z 2 2 z 2 z = 1

2 z 2 ⋅ 2 z 2 ⋅ z = 1

Então

4 z 5 = 1

Então temos que

z = 4 - 1 5 = 2 - 2 5

Agora podemos determinar as outras variáveis

x = y = 2 1 2 ⋅ 2 - 2 5 = 2 1 10

Então os pontos mais próximos da origem são

± 2 1 10 ,   ± 2 1 10 ,   2 - 2 5

Resposta

os pontos mais próximos da origem são

± 2 1 10 ,   ± 2 1 10 ,   2 - 2 5

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