Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 28
14.28. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados
Exercício 40
Passo 1
A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício 39 da seção 7. O enunciado é esse:
“Determine os pontos da superfície que estão mais próximos da origem.”
Seguinte, a nossa restrição fica dessa forma
Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer , essa seria uma equação para a distância do ponto para a origem.
Passo 2
Vamos calcular o divergente
E também precisamos do divergente de
Vamos começar fazendo
E
Finalmente
Vamos lá, juntando as equações (1) e (2)
A gente corta o e o
Então
Agora vamos fazer (3) dividido por (2)
Então
Ou seja
Logo
Passo 3
Agora vamos usar a equação de restrição
Substituindo
Então
Então temos que
Agora podemos determinar as outras variáveis
Então os pontos mais próximos da origem são
Resposta
os pontos mais próximos da origem são
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