Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S x y   d S ,

S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro x 2 + z 2 = 1 e pelos planos y = 0 e x + y = 2 .

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a integral de superfície. O primeiro passo é parametrizar a superfície. Para equação do cilindro, podemos fazer

x = cos ⁡ t             e             z = s e n   t ,               0 ≤ t ≤ 2 π

Já para a coordenada y , temos que

y = y

Note que y está limitado entre 0 e 2 - x , assim

0 ≤ y ≤ 2 - cos ⁡ t

Agora temos que calcular os vetores r → t e r → y :

r → t = ∂ x ∂ t ,   ∂ y ∂ t ,   ∂ z ∂ t = - s e n   t , 0 , cos ⁡ t

r → y = ∂ x ∂ y ,   ∂ y ∂ y ,   ∂ z ∂ y = ( 0 ,   1 ,   0 )

Passo 2

Agora fazemos o produto vetorial de r → t por r → y :

r → t × r → y = i ^ j ^ k ^ - s e n   t 0 cos ⁡ t 0 1 0 = - cos ⁡ t   i ^ - s e n   t   k ^

Assim,

r → t × r → y = cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Como

d S = r → t × r → y   d A = r → t × r → y   d t   d y = d t   d y

temos que

I = ∫ ∫ S x y   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - cos ⁡ t y cos ⁡ t d y   d t

Fazendo a integral em y :

I = ∫ 0 2 π cos ⁡ t   1 2 y 2 0 2 - cos ⁡ t   d t = 1 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ t   2 - cos ⁡ t 2   d t

Assim,

I = 1 2 ∫ 0 2 π 4 cos ⁡ t - 4 cos 2 ⁡ t + cos 3 ⁡ t   d t

Vamos separar em três integrais:

I = 2   ∫ 0 2 π cos ⁡ t   d t - 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t + 1 2 ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ t   d t

Tanto a primeira integral como a terceira são nulas, pois são potências ímpares da função cosseno que integrada sobre um período se anula! Assim, resta apenas a integral do meio:

I = - 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t   d t

Lembrando que

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

Chegamos em

I = - ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t   d t = - t + 1 2 s e n   2 t 0 2 π

Assim,

I = - 2 π

Resposta

I = - 2 π

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