Exercícios de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 2
Considere a função
(a) Determine e classifique os pontos críticos de em todo o .
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre a circunferência:
(c) Determine os valores máximo e mínimo de no disco
e os pontos onde estes valores ocorrem.
Ver solução completaQuestão 4
Considere a função definida por
(a) Determine os pontos críticos de e classifique-os.
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de no conjunto
Ver solução completaQuestão 6
A temperatura em uma placa de metal é dada por
- Determine e classifique os pontos críticos de em todo .
- Determine os pontos onde ocorrem a maior e a menor temperatura na região
Questão 7
Deseja-se construir uma caixa retangular de de volume. O custo do material a ser utilizado é de por para a tampa e para o fundo, por para um par de lados opostos e por para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo.
Ver solução completaQuestão 8
Ache o volume máximo do paralelepípedo no primeiro octante inscrível no elipsóide
Ver solução completaQuestão 10
Considere a função dada por
para um real fixado.
a) Determine os pontos críticos de e classifique-os, em função do parâmetro .
b) Faça e determine o valor máximo e o valor mínimo de em
Ver solução completaQuestão 11
Desejamos fabricar um cilindro circular reto de raio e altura . Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, encontre o volume máximo do cilindro quando sua área (incluindo as duas tampas) é de unidades de área.
Dica: Lembre que a área lateral de um cilindro circular reto de raio e altura é , e o volume é .
Ver solução completaQuestão 13
Dada a função
Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de na região
Ver solução completaQuestão 14
Determine, se existirem, os pontos de máximo e mínimo absolutos de no domínio .
Ver solução completaQuestão 15
Justifique a existência e determine os pontos de máximo e mínimo de
em
Ver solução completaQuestão 16
Considere a função dada por
para um real fixado.
a) Determine os pontos críticos de e classifique-os, em função do parâmetro .
b) Faça e determine o valor máximo e o valor mínimo de em
Ver solução completaQuestão 17
Dada a função ,
- Classifique os pontos críticos de .
- Determine os valores de máximo e de mínimo de no compacto
Questão 19
Determine a equação do plano tangente à superfície , com e maiores do que , que forma um tetraedro mínimo com os planos coordenados.
Dica: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano no primeiro octante é dado por .
Ver solução completaQuestão 21
Determine, se existirem, os pontos de máximo e mínimo absolutos de
No domínio
Ver solução completaQuestão 22
Foi construída uma caixa com tampa, na forma de um paralelepípedo e com de volume. O material a ser utilizado nas laterais custa o dobro em relação ao que será utilizado na superfície do fundo. De acordo com sua resolução as dimensões da caixa que minimizam o custo do material são:
; ;
; ;
; ;
; ;
Ver solução completaQuestão 23
Calcule o valor máximo e o valor mínimo da função
Restrita a porção do plano
Usando obrigatoriamente o método dos multiplicadores de Lagrange.
Ver solução completaQuestão 24
Deseja-se encontrar os pontos de máximo e mínimo de sobre o conjunto .
- O problema tem solução? Justifique.
- Em caso afirmativo, determine tais pontos.
- A função acima tem ponto de máximo sobre o conjunto ? E de mínimo? Justifique suas respostas.
Questão 25
Considere a função definida por
(a) Determine os pontos críticos de e classifique-os.
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de no conjunto
Ver solução completaQuestão 26
Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para determinar os valores extremos da função
Sobre a esfera
E classifique-os como máximo ou mínimo.
Ver solução completaQuestão 27
Tres números positivos satisfazem a relação
O maior valor possível para o produto é:
- 4000
- 5000
- 2000
- 1000
- 1024
Questão 29
Maximize sujeito a , onde é uma constante real positiva fixa. Qual é o valor máximo da função objetivo no conjunto determinado pela restrição?
Mostre que para todo ocorre
Ver solução completaQuestão 30
34. Obtenha o ponto da elipse situado no 1° quadrante, no qual a tangente à curva forma com os eixos coordenados o triângulo de menor área possível. Calcule essa área mínima.
Ver solução completaQuestão 31
23. Encontre os extremantes da função objetivo no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de em .
, sujeito à .
Ver solução completaQuestão 32
Um disco circular tem a forma da região . Se graus é a temperatura em qualquer ponto do disco e , encontre os pontos mais quentes e mais frios do disco.
Ver solução completaQuestão 33
Considere a figura abaixo que representa as curvas de nível de uma função com derivadas parciais contínuas e uma restrição . (Circunferência)
a) Marque na figura todos os pontos críticos de .
b) Tendo por base o valor das curvas de nível indicado na figura classifique os pontos críticos em a)
c) Desenhe na figura o vetor gradiente da função no ponto
d) Indique, com um X sobre a figura, os pontos que são solução do seguinte sistema:
e) Olhando para a figura, você consegue concluir onde ocorrem os valores máximo e mínimo da função restrita à circunferência?
Questão 34
Uma empresa de serviço de entrega restringe as dimensões do pacote a caixas retangulares tais que o comprimento mais o dobro da largura mais o dobro da altura não pode exceder 108 centímetros. Quais são as dimensões do pacote com maior volume que a empresa entrega?
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Encontre os valores extremos da função na região definida pela desigualdade .
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Considere a função
- Determine e classifique os pontos críticos de em todo
- Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre a circunferência:
- Determine os valores máximos e mínimos de no disco e os pontos onde esses valores ocorrem
Questão 37
Considere a função
(a) Determine e classifique os pontos críticos de em todo o .
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre a circunferência:
(c) Determine os valores máximo e mínimo de no disco
e os pontos onde estes valores ocorrem.
Ver solução completaQuestão 38
Deseja-se construir uma caixa retangular de de volume. O custo do material a ser utilizado é de por para a tampa e para o fundo, por para um par de lados opostos e por para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo.
Ver solução completaQuestão 39
Determine os valores máximos e mínimos absolutos da função no conjunto
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12 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, da função sujeita aos vínculos e .
Ver solução completaQuestão 41
Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo da função
Com a restrição
Conclua que
Ver solução completaQuestão 42
A soma das coordenadas do ponto da superfície
Pertencente ao semiespaço superior e mais próximo da origem é:
Questão 43
Verifique que entre todos os triângulos, aquele cujo produto dos senos de seus ângulos internos é máximo, é o triângulo equilátero.
Lembrete: A soma dos ângulos internos de um triangulo é
Ver solução completaQuestão 44
Denote por P e Q os pontos do cone mais próximos do ponto .
Assinale a alternativa correta:
Questão 46
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de na região descrita pela desigualdade
Ver solução completaQuestão 47
Seja
Seja
Com .
Encontre os valores de máximos e mínimos globais de em .
Ver solução completaQuestão 48
Considere a função
Definida no conjunto
Assinale a afirmativa correta:
- em dois pontos de máximo e nenhum ponto de mínimo absoluto em . O valor máximo de em é .
- em dois pontos de máximo e um ponto de mínimo absoluto em . O valor máximo e mínimo de em são e , respectivamente.
- em dois pontos de máximo e dois pontos de mínimo absolutos em . O valor máximo e mínimo de em são e , respectivamente.
- não tem pontos de máximo e mínimo absoluto em
- Todas as demais alternativas são falsas.
Questão 49
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita a restrição dada:
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Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar a menor distância entre o ponto e o plano
Ver solução completaQuestão 51
A soma das coordenadas do ponto da superfície
Pertencente ao semiespaço superior e mais próximo da origem é: