Lista de Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição
Determine o ponto da reta cujo produto das coordenadas seja máximo.
Ver solução completaConsidere a função
(a) Determine e classifique os pontos críticos de em todo o .
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre a circunferência:
(c) Determine os valores máximo e mínimo de no disco
e os pontos onde estes valores ocorrem.
Ver solução completaDeterminar os extremos da função sobre a curva
Ver solução completaConsidere a função definida por
(a) Determine os pontos críticos de e classifique-os.
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de no conjunto
Ver solução completaA temperatura em uma placa de metal é dada por
- Determine e classifique os pontos críticos de em todo .
- Determine os pontos onde ocorrem a maior e a menor temperatura na região
Ache o volume máximo do paralelepípedo no primeiro octante inscrível no elipsóide
Ver solução completaDeseja-se construir uma caixa retangular de de volume. O custo do material a ser utilizado é de por para a tampa e para o fundo, por para um par de lados opostos e por para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo.
Ver solução completaConsidere a função dada por
para um real fixado.
a) Determine os pontos críticos de e classifique-os, em função do parâmetro .
b) Faça e determine o valor máximo e o valor mínimo de em
Ver solução completaSeja e o domínio dado por . Então
- Ambos os valores de máximo e mínimo de em ocorrem no interior de .
- O valor máximo de em ocorre na fronteira de e o valor mínimo de em ocorre no interior de
- O valor mínimo de em ocorre na fronteira de e o valor máximo de em ocorre no interior de
- Ambos os valores máximo e mínimo de em ocorrem na fronteira de
- Nenhuma das demais alternativas
Deseja-se construir uma caixa retangular de de volume. O custo do material a ser utilizado é de por para a tampa e para o fundo, por para um par de lados opostos e por para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo.
Ver solução completaConsidere a função definida por
(a) Determine os pontos críticos de e classifique-os.
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de no conjunto
Ver solução completaConsidere a função
(a) Determine e classifique os pontos críticos de em todo o .
(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre a circunferência:
(c) Determine os valores máximo e mínimo de no disco
e os pontos onde estes valores ocorrem.
Ver solução completaDetermine, se existirem, os pontos de máximo e mínimo absolutos de no domínio .
Ver solução completaConsidere a função dada por
para um real fixado.
a) Determine os pontos críticos de e classifique-os, em função do parâmetro .
b) Faça e determine o valor máximo e o valor mínimo de em
Ver solução completaDetermine, caso existam, os valores de máximo e mínimo de sobre os seguinte conjunto:
Ver solução completaDada a função ,
- Classifique os pontos críticos de .
- Determine os valores de máximo e de mínimo de no compacto
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de na região descrita pela desigualdade
Ver solução completaQual o ponto da parábola que se encontra mais próximo do ponto ?
Ver solução completaDetermine a equação do plano tangente à superfície , com e maiores do que , que forma um tetraedro mínimo com os planos coordenados.
Dica: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano no primeiro octante é dado por .
Ver solução completaEncontre os pontos da elipse mais próximos e mais distantes da origem.
Ver solução completaDeseja fabricar-se uma caixa de papelão retangular, sem tampa, com volume . Quais as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de papelão a ser utilizado?
80
Ver solução completa
Deseja-se encontrar os pontos de máximo e mínimo de sobre o conjunto .
- O problema tem solução? Justifique.
- Em caso afirmativo, determine tais pontos.
- A função acima tem ponto de máximo sobre o conjunto ? E de mínimo? Justifique suas respostas.
Considere a função
Considere o conjunto
Calcule o valor máximo e o valor mínimo de restrita a .
Ver solução completaSeja
- Encontre e classifique os pontos críticos de
- Determine os extremos globais de em
23. Encontre os extremantes da função objetivo no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de em .
, sujeito à .
Ver solução completaUm disco circular tem a forma da região . Se graus é a temperatura em qualquer ponto do disco e , encontre os pontos mais quentes e mais frios do disco.
Ver solução completaDetermine a equação do plano tangente à superfície , com e maiores do que , que forma um tetraedro mínimo com os planos coordenados.
Ver solução completaMaximize sujeito a , onde é uma constante real positiva fixa. Qual é o valor máximo da função objetivo no conjunto determinado pela restrição?
Mostre que para todo ocorre
Ver solução completa34. Obtenha o ponto da elipse situado no 1° quadrante, no qual a tangente à curva forma com os eixos coordenados o triângulo de menor área possível. Calcule essa área mínima.
Ver solução completaAche o volume máximo do paralelepípedo inscrível no elipsóide
Ver solução completaEncontre os extremantes da função objetivo no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houve, os extremantes de em ℝ²
, sujeito à
Ver solução completa24. Encontre os extremantes da função objetivo no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de em .
, sujeito à .
Ver solução completaConsidere a figura abaixo que representa as curvas de nível de uma função com derivadas parciais contínuas e uma restrição . (Circunferência)
a) Marque na figura todos os pontos críticos de .
b) Tendo por base o valor das curvas de nível indicado na figura classifique os pontos críticos em a)
c) Desenhe na figura o vetor gradiente da função no ponto
d) Indique, com um X sobre a figura, os pontos que são solução do seguinte sistema:
e) Olhando para a figura, você consegue concluir onde ocorrem os valores máximo e mínimo da função restrita à circunferência?
Uma placa circular plana tem o formato da região . A placa (incluindo a fronteira ) é aquecida de modo que a temperatura em um ponto da placa é dada por . Determine as temperaturas no ponto mais quente e no ponto mais frio sobre a placa, incluindo a fronteira .
Ver solução completaUma empresa de serviço de entrega restringe as dimensões do pacote a caixas retangulares tais que o comprimento mais o dobro da largura mais o dobro da altura não pode exceder 108 centímetros. Quais são as dimensões do pacote com maior volume que a empresa entrega?
Ver solução completaSeja e a circunferência . Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
- O máximo absoluto de em é e o mínimo absoluto de em é .
- Os valores extremos de em ocorrem em .
- O máximo absoluto de em é e o mínimo absoluto de em é .
- Os valores extremos de em ocorrem em e
- Não sei
Determine o volume do maior paralelepípedo no primeiro octante com três faces nos planos coordenados , e e um vértice no plano , onde .
Ver solução completaEncontre os valores extremos da função na região definida pela desigualdade .
Ver solução completaConsidere a função
- Determine e classifique os pontos críticos de em todo
- Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre a circunferência:
- Determine os valores máximos e mínimos de no disco e os pontos onde esses valores ocorrem
Determine os valores máximos e mínimos absolutos da função no conjunto
Ver solução completaUse o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo da função
Com a restrição
Conclua que
Ver solução completaUm fio de coprimento deve ser dividido em partes. Determine o comprimento de cada parte de modo que o produto dos comprimentos das partes seja máximo.
Ver solução completaOs valores máximos e mínimos absolutos da função restrita ao conjunto são, respectivamente:
e
Esta função não possui nem máximo, nem mínimo absolutos em
e
e
e
Ver solução completaOs valores mínimo e máximo de no domínio são, respectivamente: