Lista de Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Determine o ponto da reta x + 2 y = 1 cujo produto das coordenadas seja máximo.

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Considere a função f x , y = y 3 3 - 9 y + x ²

(a) Determine e classifique os pontos críticos de f em todo o R ² .

(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de f sobre a circunferência:

x 2 + y + 3 2 = 9

(c) Determine os valores máximo e mínimo de f no disco

D = x , y   : x 2 + y + 3 2 ≤ 9

e os pontos onde estes valores ocorrem.

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Determinar os extremos da função z = f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 3 sobre a curva C : 4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

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Considere a função f   : R 2 → R definida por

f x , y = x y - x - y + 2 .

(a) Determine os pontos críticos de f e classifique-os.

(b) Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de f no conjunto

D = x , y ∈ R 2     x 2 + y 2 ≤ 1 } .

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Calcule os pontos de máximo e mínimo absolutos de

f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - z

Na esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 1

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A temperatura em uma placa de metal é dada por

T x , y = 8 x 2 - 24 x y + y 2

  1. Determine e classifique os pontos críticos de T em todo R 2 .
  2. Determine os pontos onde ocorrem a maior e a menor temperatura na região

D = x , y ∈ R 2 ; 8 x 2 + y 2 ≤ 1

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Ache o volume máximo do paralelepípedo no primeiro octante inscrível no elipsóide

16 x 2 + 4 y 2 + 9 z ² = 144

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Deseja-se construir uma caixa retangular de 24   c m 3 de volume. O custo do material a ser utilizado é de R $   8,00 por c m 2 para a tampa e para o fundo, R $   3,00 por c m 2 para um par de lados opostos e R $   2,00 por c m 2 para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo.

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Determine os pontos de máximo e mínimo de

f x , y , z = x 2 + z 2 - x z + 3 y

em

R = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25

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Considere a função f : R 2 → R dada por

f x , y = 2 a 3 y 3 + x 2 - 5 a 2 y 2 - 4 x + 3

para um real a ≠ 0 fixado.

a) Determine os pontos críticos de f e classifique-os, em função do parâmetro a .

b) Faça a = - 1 e determine o valor máximo e o valor mínimo de f em C = x , y ∈ R 2     2 x - 2 2 + y 2 ≤ 4

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Seja f x , y = x 2 - y 2 e D o domínio dado por x 4 + x 2 y 2 + y 4 ≤ 1 . Então

  1. Ambos os valores de máximo e mínimo de f ( x , y ) em D ocorrem no interior de D .
  2. O valor máximo de f ( x , y ) em D ocorre na fronteira de D e o valor mínimo de f ( x , y ) em D ocorre no interior de D
  3. O valor mínimo de f ( x , y ) em D ocorre na fronteira de D e o valor máximo de f ( x , y ) em D ocorre no interior de D
  4. Ambos os valores máximo e mínimo de f ( x , y ) em D ocorrem na fronteira de D
  5. Nenhuma das demais alternativas

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Dada a função

f x , y = x 3 3 - 4 x + y 2 - 1 3

Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de f na região

D = x , y ∈ R 2   ; x 2 + y 2 ≤ 1

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Calcule, se existirem, o máximo e o mínimo absolutos de

f x , y , z = 2 x 2 + y 2 + z

na região x 2 + y 2 + z 2 = 1

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Deseja-se construir uma caixa retangular de 24   c m 3 de volume. O custo do material a ser utilizado é de R $   8,00 por c m 2 para a tampa e para o fundo, R $   3,00 por c m 2 para um par de lados opostos e R $   2,00 por c m 2 para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo.

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Considere a função f   : R 2 → R definida por

f x , y = x y - x - y + 2 .

(a) Determine os pontos críticos de f e classifique-os.

(b) Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de f no conjunto

D = x , y ∈ R 2     x 2 + y 2 ≤ 1 } .

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Considere a função f x , y = y 3 3 - 9 y + x ²

(a) Determine e classifique os pontos críticos de f em todo o R ² .

(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de f sobre a circunferência:

x 2 + y + 3 2 = 9

(c) Determine os valores máximo e mínimo de f no disco

D = x , y   : x 2 + y + 3 2 ≤ 9

e os pontos onde estes valores ocorrem.

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Determine, se existirem, os pontos de máximo e mínimo absolutos de f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - z no domínio D = x , y , z ∈ R 3     x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .

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Justifique a existência e determine os pontos de máximo e mínimo de

f x , y , z = x 2 + z 2 - x z + 3 y

em

R = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25

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Considere a função f : R 2 → R dada por

f x , y = 2 a 3 y 3 + x 2 - 5 a 2 y 2 - 4 x + 3

para um real a ≠ 0 fixado.

a) Determine os pontos críticos de f e classifique-os, em função do parâmetro a .

b) Faça a = - 1 e determine o valor máximo e o valor mínimo de f em C = x , y ∈ R 2     2 x - 2 2 + y 2 ≤ 4

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Determine, caso existam, os valores de máximo e mínimo de f x , y , z = y 2 - x z + 6 y sobre os seguinte conjunto:

S = { x , y , z ∈ R 3 : x 2 + 4 y 2 + z 2 = 36 }

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Dada a função f x , y = x 3 - 3 x y + y 3 ,

  1. Classifique os pontos críticos de f .
  2. Determine os valores de máximo e de mínimo de f no compacto

R = x , y ∈ R 2 : x y + x + y = 0 ,   - 1 2 ≤ x ≤ 1

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Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5 na região descrita pela desigualdade x 2 + y 2 ≤ 16 .

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Qual o ponto da parábola y = x 2 que se encontra mais próximo do ponto 0,1 ∈ R 2 ?

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Determine a equação do plano tangente à superfície x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 , com x , y e z maiores do que 0 , que forma um tetraedro mínimo com os planos coordenados.

Dica: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano a x + b y + c z = d no primeiro octante é dado por V = d 3 6 a b c .

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Encontre os pontos da elipse x 2 + x y + y 2 = 3 mais próximos e mais distantes da origem.

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Determine os valores máximo e mínimo absolutos de

f x , y = x 2 + 2 y 2 - x ,

no conjunto D = x , y ∈ R 2   : x 2 + y 2 ≤ 1 .

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Encontre o valor máximo e o valor mínimo da função

f x , y = x 2 + y 2

Na região

D = x , y ∈ R 2 ; x 2 - x y + y 2 ≤ 9

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Encontre os valores máximo e mínimo de

f x , y = 4 x 2 + 10 y 2

No disco

x 2 + y 2 ≤ 4

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Deseja fabricar-se uma caixa de papelão retangular, sem tampa, com volume 32000   c m 3 . Quais as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de papelão a ser utilizado?

a 40   c m ,   40   c m ,   20   c m

b 8 0   c m ,   2 0   c m ,   20   c m

c 40 0   c m ,   40   c m ,   2   c m

d 80 0   c m ,   2 0   c m ,   2   c m

e 40 0   c m ,   2 0   c m ,   4   c m

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Deseja-se encontrar os pontos de máximo e mínimo de f x , y = x 1 4 y 3 4 sobre o conjunto K = x , y ∈ R 2 : 5 x + 3 y ≤ 10 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 .

  1. O problema tem solução? Justifique.
  2. Em caso afirmativo, determine tais pontos.
  3. A função f acima tem ponto de máximo sobre o conjunto D = x , y ∈ R 2 : 5 x + 3 y ≤ 10 ,   x > 0 ,   y > 0 ? E de mínimo? Justifique suas respostas.

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Considere a função

h x , y = 4 x + 4 y

Considere o conjunto

K = x , y ∈ R 2     x 4 + y 4 ≤ 2 }  

Calcule o valor máximo e o valor mínimo de h restrita a K .

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Seja

f x , y = y 2 - x 2 3

  1. Encontre e classifique os pontos críticos de f
  2. Determine os extremos globais de f em S = x , y ∈ R 2   ; x 2 + y 2 ≤ 1

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23. Encontre os extremantes da função objetivo f no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de f em R 3 .

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , sujeito à x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1 .

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Um disco circular tem a forma da região x 2 + y 2 ≤ 1 . Se T graus é a temperatura em qualquer ponto do disco e T = 2 x 2 + y 2 - y , encontre os pontos mais quentes e mais frios do disco.

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Determine a equação do plano tangente à superfície x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 , com x , y e z maiores do que 0 , que forma um tetraedro mínimo com os planos coordenados.

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Maximize x 2 y 2 z 2 sujeito a x 2 + y 2 + z 2 = c , onde c é uma constante real positiva fixa. Qual é o valor máximo da função objetivo no conjunto determinado pela restrição?

Mostre que para todo x , y , z ∈ R ocorre

x 2 y 2 z 2 3 ≤ x 2 + y 2 + z 2

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34. Obtenha o ponto da elipse 4 x 2 + y 2 = 4 situado no 1° quadrante, no qual a tangente à curva forma com os eixos coordenados o triângulo de menor área possível. Calcule essa área mínima.

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Ache o volume máximo do paralelepípedo inscrível no elipsóide

16 x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 144

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Encontre os extremantes da função objetivo f no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houve, os extremantes de f em ℝ²

f x , y = y 2 - x 2 , sujeito à x 2 + y 2 ≤ 4 .

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24. Encontre os extremantes da função objetivo f no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de f em R 3 .

f x , y = x 2 + y 2 , sujeito à 5 x 2 + 6 x y + 5 y 2 ≤ 8 .

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Considere a figura abaixo que representa as curvas de nível de uma função z = f x , y com derivadas parciais contínuas e uma restrição g x , y = k . (Circunferência)

a) Marque na figura todos os pontos críticos de f .

b) Tendo por base o valor das curvas de nível indicado na figura classifique os pontos críticos em a)

c) Desenhe na figura o vetor gradiente da função f no ponto - 3.0 ,   2.5 .

d) Indique, com um X sobre a figura, os pontos que são solução do seguinte sistema:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

g x , y = k

e) Olhando para a figura, você consegue concluir onde ocorrem os valores máximo e mínimo da função f restrita à circunferência?

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Uma placa circular plana tem o formato da região x 2 + y 2 ≤ 4 . A placa (incluindo a fronteira x 2 + y 2 = 4 ) é aquecida de modo que a temperatura em um ponto ( x , y ) da placa é dada por T x , y = x 2 + y 2 - 2 x . Determine as temperaturas no ponto mais quente e no ponto mais frio sobre a placa, incluindo a fronteira x 2 + y 2 = 4 .

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Uma empresa de serviço de entrega restringe as dimensões do pacote a caixas retangulares tais que o comprimento mais o dobro da largura mais o dobro da altura não pode exceder 108 centímetros. Quais são as dimensões do pacote com maior volume que a empresa entrega?

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Seja f x , y = 4 x + 6 y e C a circunferência x 2 + y 2 = 13 . Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

  1. O máximo absoluto de f em C é 26 e o mínimo absoluto de f em C é - 26 .
  2. Os valores extremos de f em C ocorrem em ± 2,3 .
  3. O máximo absoluto de f em C é 20 e o mínimo absoluto de f em C é - 20 .
  4. Os valores extremos de f em C ocorrem em 2 , - 3 e - 2,3
  5. Não sei

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Determine o volume do maior paralelepípedo no primeiro octante com três faces nos planos coordenados x y , x z e y z e um vértice no plano x / a + y / b + z / c = 1 , onde a , b , c > 0 .

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Encontre os valores extremos da função f x , y = y 2 - y 4 - x 2 na região definida pela desigualdade x 2 + 4 y 2 ≤ 10 .

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Considere a função f x , y = x 3 3 - 9 x + y 2

  1. Determine e classifique os pontos críticos de f em todo R 2
  2. Determine os pontos de máximo e mínimo de f sobre a circunferência: x - 3 2 + y 2 = 9
  3. Determine os valores máximos e mínimos de f no disco D = x , y ; x - 3 2 + y 2 ≤ 9 e os pontos onde esses valores ocorrem

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Determine os valores máximos e mínimos absolutos da função f no conjunto D

f x , y = 2 x 3 + y 4 ,   D = x , y x 2 + y 2 ≤ 1

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Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo da função

f x , y , z = x y z

Com a restrição

x + y + z = 1

Conclua que

x y z 3 ≤ x + y + z 3

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Um fio de coprimento a deve ser dividido em 3 partes. Determine o comprimento de cada parte de modo que o produto dos comprimentos das partes seja máximo.

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Os valores máximos e mínimos absolutos da função f x , y = x 4 - 2 y 4 restrita ao conjunto D = { x , y ∈ R 2 ; x 2 + y 2 = 1 } são, respectivamente:

a 1 e 0

b Esta função não possui nem máximo, nem mínimo absolutos em D

c 2 e - 1

d 0 e - 1

e 1 e - 2

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Os valores mínimo e máximo de f x , y = x 2 + 3 y 2 - y no domínio x 2 + y 2 ≤ 1 são, respectivamente:

a - 1 12