Enunciado

17 - A equação de movimento de um sistema mola-massa com amortecimento (veja a Seção 3.7) é

m d 2 u d t 2 + c d u d t + k u = 0

em que m, c e k são positivos. Escreva essa equação de segunda ordem como um sistema de

duas equações de primeira ordem para x = u , y = d u / d t . Mostre que x = 0 ,   y = 0 é um ponto crítico e analise a estrutura e a estabilidade do ponto crítico em função dos parâmetros m, c e k. Uma análise semelhante pode ser aplicada à equação do circuito elétrico (veja a Seção 3.7)

L d 2 l d t 2 + R d l d t + i C l = 0

Passo 1

A equação de movimento dada é:

m d 2 u d t 2 + c d u d t + k u = 0

Seja  x = u .

Então  x ' = u ' .

Assim, tome y = u ' .

Então, y ' = u ' = - c m y - k m x

Passo 2

Portanto, o sistema fornecido pode ser reduzido a um sistema de duas equações de primeira ordem:

y ' = - c m y - k m x

E x ' = y .

Este sistema nos dá o sistema algébrico:

x ' y ' = 0 1 - k / m - c / m x y … … . ( 2 )

Passo 3

Deixei  x = x ' y '

Então a equação ( 2 ) pode ser escrita como:

x ' = 0 1 - k / m - c / m x

Sabemos que o ponto crítico x 0 é tal que d x d t x = x 0 = 0 .

0 1 - k / m - c / m x 0 = 0

0 1 - k m - c m - 1 0 1 - k / m - c / m x 0 = 0 0 1 - k m - c m - 1

I x 0 = 0

= 0 0

Portanto, o ponto crítico é x 0 , y 0 = ( 0 , 0 ) .

Passo 4

Tenhamos x = ξ e r t .

Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.

- r 1 - k / m - c m - r ξ 1 ξ 2 = 0 0

Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.

- r 1 - k / m - c m - r = 0

r 2 + c m r + k m = 0

r 1 , 2 = c 2 m ± 1 2 m c 2 - 4 k m

Então os autovalores são r 1,2 = c 2 m ± 1 2 m c 2 - 4 k m .

Passo 5

Agora surgem três casos.

CASO 1:

Quando  c 2 - 4 k m = 0

  c 2 = 4 k m

Então, ambos os autovalores são iguais, com sinais negativos e, portanto, o ponto crítico é um nó impróprio assintoticamente estável.

Passo 6

CASO 2:

Quando  c 2 - 4 k m < 0

c 2 < 4 k m

Então os autovalores são números complexos com parte real negativa e, portanto, o ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.

Passo 7

CASO 3:

Quando  c 2 - 4 k m > 0

c 2 > 4 k m

Então os autovalores são reais, desiguais e negativos e, portanto, o ponto crítico é o nó assintoticamente estável.

Resposta

x ' y ' = 0 1 - k / m - c / m x y

CASO 1:

Quando  c 2 - 4 k m = 0

  c 2 = 4 k m

Então, ambos os autovalores são iguais, com sinais negativos e, portanto, o ponto crítico é um nó impróprio assintoticamente estável.

CASO 2:

Quando  c 2 - 4 k m < 0

c 2 < 4 k m

Então os autovalores são números complexos com parte real negativa e, portanto, o ponto crítico é um ponto espiral assintoticamente estável.

CASO 3:

Quando  c 2 - 4 k m > 0

c 2 > 4 k m

Então os autovalores são reais, desiguais e negativos e, portanto, o ponto crítico é o nó assintoticamente estável.

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