Enunciado

Se modificarmos as equações de Lotka-Volterra incluindo um termo auto-limitador - σ x 2 na equação de presa e depois supusermos uma administração com esforço constante, obteremos as equações

x ' = x a - σ x - α y - E 1 , y ' = y ( - c + γ x - E 2 )

Na ausência de administração, a solução de equilíbrio de interesse é x = c / γ , y = ( a / α ) - ( σ c ) / α y   .

(a) Como varia a solução de equilíbrio se as presas forem administradas, mas os predadores não ( E 1 > 0 ,   E 2 = 0 ) ?

(b) Como varia a solução de equilíbrio se os predadores forem administrados, mas as presas não ( E 1 = 0 ,   E 2 > 0 ) ?

(c) Como varia a solução de equilíbrio, se ambos forem administrados ( E 1 > 0 ,   E 2 > 0 ) ?

Passo 1

O item (a) nos pede para encontrar a solução de equilíbrio para a condição em que apenas as presas serão administradas ( E 1 > 0 ,   E 2 = 0 ) . Para isso, vamos igualar as derivadas de cada população a zero:

y ' = y - c + γ x = 0

- c + γ x = 0

x = c γ

E

x ' = x a - σ x - α y - E 1 = 0

a - σ x - α y - E 1 = 0

a - σ c γ - E 1 = α y

y = a - σ c γ - E 1 α

Então, a nova condição de equilíbrio será ( c / γ ,   a - σ c γ - E 1 α ) . Como podemos ver, a população de presas se manteve e, a de predadores diminuiu ainda mais.

Passo 2

Vamos agora para o item (b), em que apenas os predadores são administrados ( E 1 = 0 ,   E 2 > 0 ) . Assim como fizemos no item (a), vamos definir as novas condições de equilíbrio:

y ' = y - c + γ x - E 2 = 0

- c + γ x - E 2 = 0

γ x = E 2 + c

x = E 2 + c γ

E

x ' = x a - σ x - α y = 0

a - σ x = α y

y = a - σ x α

Então, a nova solução de equilíbrio para a condição de administração com esforço constante dos predadores é ( E 2 + c γ , a - σ x α ) . Então, a população de presas será superior à da condição sem administração, e a de predadores se mantém constante.

Passo 3

O item (c) nos pede para avaliar a condição em que as duas populações são administradas ( E 1 > 0 ,   E 2 > 0 ) . Para esta situação, o ponto de equilíbrio será:

y ' = y - c + γ x - E 2 = 0

- c + γ x - E 2 = 0

γ x = E 2 + c

x = E 2 + c γ

E

x ' = x a - σ x - α y - E 1 = 0

a - σ x - α y - E 1 = 0

a - σ E 2 + c γ - α y - E 1 = 0

a - σ E 2 + c γ - E 1 = α y

y = a - σ E 2 + c γ - E 1 α

Então, se ambas populações são administradas, o novo equilíbrio é E 2 + c γ ,   a - σ E 2 + c γ - E 1 α . E, podemos ver que a população de presas aumentará e, a de predadores diminui.

Resposta

(a) A população de presas se mantém e a de predadores diminui.

(b) A população de predadores se mantém e a de presas aumenta.

(c) A população de presas aumenta e a de predadores diminui.

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