Enunciado

Nesse problema, mostramos como generalizar o Teorema 3.2.7 (Teorema de Abel) para equações de ordem maior. Vamos primeiro esboçar o procedimento para a equação de terceira ordem

y ' ' ' + p 1 t y ' ' + p 2 t y ' + p 3 t y = 0

Sejam y 1 , y 2 e y 3 soluções dessa equação em um intervalo I .

(a) Se W = W ( y 1 , y 2 , y 3 ) , mostre que

W ' = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 ' ' ' y 2 ' ' ' y 3 ' ' '

(b) Substitua y 1 ' ' ' ,   y 2 ' ' ' e y 3 ' ' ' a partir da equação diferencial; multiplique a primeira linha por p 3 , a segunda por p 2 e some-as à última linha para obter

W ' = - p 1 t W

(c) Mostre que

W y 1 , y 2 , y 3 t = c exp ⁡ - ∫ p 1 t d t

Logo, W ou é sempre igual a zero ou nunca é nulo em I .

(d) Generalize esse argumento para a equação de ordem n

y ( n ) + p 1 t y n - 1 + … + p n t y = 0

Com soluções y 1 , … ,   y n . Ou seja, estabeleça a fórmula de Abel

W y 1 , … ,   y n t = c exp ⁡ - ∫ p 1 t d t

Para esse caso.

Passo 1

O exercício nos mostra um passo a passo para obter uma forma mais simples de calcular o wronskiano para uma equação de ordem n . Vamos tentar seguir os passos pedidos pelo enunciado para uma equação geral de terceira ordem e, ao final, devemos ser capazes de generalizar o raciocínio para uma equação de ordem n . Vamos lá???

Nosso primeiro passo será obter a derivada do wronskiano, para uma equação com soluções y 1 , y 2 e y 3 . O wronskiano é definido por:

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 ' ' y 2 ' ' y 3 ' '

O determinante da matriz em que cada coluna representa uma função solução e cada uma das suas derivadas até uma ordem a menos que a ordem da equação diferencial. Como nossa equação diferencial era de terceira ordem, nosso wronskiano deve ir até a segunda derivada. Tudo bem???

Voltando ao cálculo do wronskiano:

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 ' ' y 2 ' ' y 3 ' '

W = y 1 y 2 ' y 3 ' ' + y 2 y 3 ' y 1 ' ' + y 3 y 1 ' y 2 ' ' - y 3 y 2 ' y 1 ' ' - y 1 y 3 ' y 2 ' ' - y 2 y 1 ' y 3 ' '

Se aplicarmos a derivada no wronskiano:

W ' = y 1 y 2 ' y 3 ' ' + y 2 y 3 ' y 1 ' ' + y 3 y 1 ' y 2 ' ' - y 3 y 2 ' y 1 ' ' - y 1 y 3 ' y 2 ' ' - y 2 y 1 ' y 3 ' ' '

W ' = y 1 y 2 ' y 3 ' ' ' + y 2 y 3 ' y 1 ' ' ' + y 3 y 1 ' y 2 ' ' ' - y 3 y 2 ' y 1 ' ' ' - y 1 y 3 ' y 2 ' ' ' - y 2 y 1 ' y 3 ' ' '

Que podemos reescrever como:

W ' = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 ' ' ' y 2 ' ' ' y 3 ' ' '

E, assim, demonstramos o que foi pedido no item (a).

Passo 2

Nosso próximo passo será aplicar a equação diferencial para substituir y 1 ' ' ' , y 2 ' ' ' e y 3 ' ' ' . Como y 1 é solução da equação:

y ' ' ' + p 1 t y ' ' + p 2 t y ' + p 3 t y = 0

y 1 ' ' ' + p 1 t y 1 ' ' + p 2 t y 1 ' + p 3 t y 1 = 0

y 1 ' ' ' = - p 1 t y 1 ' ' + p 2 t y 1 ' + p 3 t y 1

Analogamente, para y 2 e y 3 :

y 2 ' ' ' = - p 1 t y 2 ' ' + p 2 t y 2 ' + p 3 t y 2

y 3 ' ' ' = - p 1 t y 3 ' ' + p 2 t y 3 ' + p 3 t y 3

O próximo passo será multiplicar a primeira linha de W ' por p 3 ( t ) . Ficamos então com:

p 3 ( t ) y 1 p 3 t y 2 p 3 t y 3

Além disso, devemos multiplicar a segunda linha por p 2 ( t ) :

p 2 t y 1 ' p 2 t y 2 ' p 2 t y 3 '

E, então, somar esses resultados à última linha de W ' . A terceira linha será:

y 1 ' ' ' + p 3 t y 1 + p 2 t y 1 ' y 2 ' ' ' + p 3 t y 2 + p 2 t y 2 ' y 3 ' ' ' + p 3 t y 3 + p 2 t y 3 '

Substituindo y 1 ' ' ' , y 2 ' ' ' e y 3 ' ' ' ficamos com:

- p 1 t y 1 ' ' - p 1 t y 2 ' ' - p 1 t y 3 ' '

Como o uso de combinações lineares não altera o valor do determinante, podemos substituir esta nova terceira linha no determinante W ' e ficaremos com:

W ' = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' - p 1 t y 1 ' ' - p 1 t y 2 ' ' - p 1 t y 3 ' '

Comparando com o determinante W podemos ver que as matrizes são idênticas, com exceção da última linha que é multiplicada por - p 1 ( t ) . Uma das propriedades de determinantes é que, se multiplicamos uma linha da matriz por determinado valor, é equivalente à multiplicar o valor do determinante pelo mesmo valor. Então, podemos escrever:

W ' = - p 1 t W

Passo 3

Continuando com o resultado anterior:

W ' = - p 1 t W

d W d t = - p 1 t W

d W W = - p 1 t d t

Integrando dos dois lados:

∫ d W W = - ∫ p 1 t d t

ln ⁡ W = - ∫ p 1 t d t + C

W = exp ⁡ - ∫ p 1 t d t + C

W = exp ⁡ C exp ⁡ - ∫ p 1 t d t

Chamando exp ⁡ C = c :

W = c exp ⁡ - ∫ p 1 t d t

Pensando agora para uma equação y ( n ) + p 1 t y n - 1 + … + p n t y = 0

Teríamos um wronskiano da forma:

W = y 1 y 2 . . . y n y 1 ' y 2 ' . . . y n ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . y 1 n - 1 y 2 n - 1 . . . y n n - 1

Seguindo o mesmo raciocínio, devemos chegar à:

W ' = y 1 y 2 . . . y n y 1 ' y 2 ' . . . y n ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . y 1 n y 2 n . . . y n n

Substituindo y 1 n ,   y 2 n , … ,   y n n ficamos com:

y ( n ) + p 1 t y n - 1 + … + p n t y = 0

y 1 n = - ( p 1 t y 1 n - 1 + … + p n t y 1 )

y 2 n = - ( p 1 t y 2 n - 1 + … + p n t y 2 )

. . . y n n = - ( p 1 t y n n - 1 + … + p n t y n )

E, somando a primeira linha por p n ( t ) , a segunda por p n - 1 ( t ) , e assim por diante, até a penúltima linha por p 2 ( t ) e somar cada linha com a última, devemos chegar em algo da forma:

W ' = y 1 y 2 . . . y n y 1 ' y 2 ' . . . y n ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . - p 1 ( t ) y 1 n - 1 - p 1 ( t ) y 2 n - 1 . . . - p 1 ( t ) y n n - 1

Que, como já discutimos anteriormente é o equivalente a multiplicar a última linha do wronskiano por - p 1 ( t ) . Então:

W ' = - p 1 t W

E, continuando o raciocínio:

d W d t = - p 1 t W

d W W = - p 1 t d t

Integrando dos dois lados:

∫ d W W = - ∫ p 1 t d t

ln ⁡ W = - ∫ p 1 t d t + C

W = exp ⁡ - ∫ p 1 t d t + C

W = exp ⁡ C exp ⁡ - ∫ p 1 t d t

Chamando exp ⁡ C = c :

W = c exp ⁡ - ∫ p 1 t d t

Encontramos a mesma relação que obtivemos para o caso de uma equação de ordem 3. Portanto, esse resultado pode ser generalizado por uma equação de ordem n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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