Enunciado

Verifique se as funções dadas são soluções da equação diferencial, e determine seu wronskiano.

y ( 4 ) + 2 y ' ' ' + y ' ' = 0 ;

1 ,     t ,     e - t ,     t e - t

Passo 1

O exercício nos dá uma equação diferencial de quarta ordem e quatro possíveis soluções: f t = 1 ; g t = t ; h t = e - t e j t = t e - t . Temos que verificar se as funções são soluções do problema e, em seguida, determinar o wronskiano. Nosso primeiro passo será calcular as derivadas de cada função até a quarta ordem e, então, aplicar na equação diferencial. Ao final, se as funções forem soluções iremos usá-las para calcular o wronskiano. Tudo bem??? Vamos lá.

Passo 2

Vamos começar com a função f t = 1 :

f ' t = d d t f t = d d t ( 1 )

f ' t = 0

Então

f ' ' t = 0

f ' ' ' t = 0

f 4 = 0

Aplicando na equação diferencial:

y ( 4 ) + 2 y ' ' ' + y ' ' = 0

0 + 2 x 0 + 0 = 0

E f t = 1 é solução da equação.

A próxima função é g t = t :

g ' t = d d t g t = d d t ( t )

g ' t = 1

g ' ' t = d d t g ' t = d d t 1

g ' ' t = 0

Então

g ' ' ' t = 0

g 4 = 0

Se aplicarmos na equação diferencial:

y ( 4 ) + 2 y ' ' ' + y ' ' = 0

0 + 2 x 0 + 0 = 0

E verificamos que g t = t também é solução.

Vamos agora para a função h t = e - t :

h ' t = d d t h t = d d t e - t

h ' t = - e - t

h ' ' t = d d t h ' t = d d t - e - t

h ' ' t = e - t

h ' ' ' t = d d t h ' ' t = d d t ( e - t )

h ' ' ' t = - e - t

E

h 4 = d d t h ' ' ' t = d d t - e - t

h 4 = e - t

Substituindo na equação:

y ( 4 ) + 2 y ' ' ' + y ' ' = 0

e - t + 2 x - e - t + e - t = 0

2 e - t - 2 e - t = 0

Então, h t = e - t também é solução.

Vamos agora determinar se j t = t e - t é solução. As derivadas são:

j ' t = d d t j t = d d t ( t e - t )

j ' t = e - t - t e - t

j ' ' t = d d t j ' t = d d t ( e - t - t e - t )

j ' ' t = - e - t - ( e - t - t e - t )

j ' ' t = - 2 e - t + t e - t

j ' ' ' t = d d t j ' ' t = d d t - 2 e - t + t e - t

j ' ' ' t = 2 e - t + e - t - t e - t

j ' ' ' t = 3 e - t - t e - t

E

j 4 = d d t j ' ' ' t = d d t 3 e - t - t e - t

j 4 = - 3 e - t - ( e - t - t e - t )

j 4 = - 4 e - t + t e - t

Aplicando na equação diferencial:

y ( 4 ) + 2 y ' ' ' + y ' ' = 0

- 4 e - t + t e - t + 2 x 3 e - t - t e - t + - 2 e - t + t e - t = 0

2 t e - t - 2 t e - t - 6 e - t + 6 e - t = 0

E mostramos que a equação j t = t e - t também é solução.

Passo 3

O nosso próximo passo será calcular o wronskiano. O wronskiano é definido como:

W = f ( t ) g ( t ) h ( t ) j ( t ) f ' ( t ) g ' ( t ) h ' ( t ) j ' ( t ) f ' ' ( t ) g ' ' ( t ) h ' ' ( t ) j ' ' ( t ) f ' ' ' ( t ) g ' ' ' ( t ) h ' ' ' ( t ) j ' ' ' ( t )

O determinante da matriz em que cada coluna representa uma função solução e cada uma das suas derivadas até uma ordem a menos que a ordem da equação diferencial. Como nossa equação diferencial era de quarta ordem, nosso wronskiano deve ir até a terceira derivada. Tudo bem???

Então, nosso wronskiano é:

W = 1 t e - t t e - t 0 1 - e - t e - t - t e - t 0 0 e - t - 2 e - t + t e - t 0 0 - e - t 3 e - t - t e - t

Para calcular o determinante precisamos reduzir a matriz para uma ordem menor. Para isso vamos aplicar a regra de Chió. Ela é dada por:

Encontramos um coeficiente igual a 1. Então selecionamos a linha e a coluna do coeficiente. Dos termos que restaram devemos subtrair a multiplicação dos termos correspondentes na linha e coluna que retiramos. Vamos fazer pegar um termo para exemplificar:

O termo na matriz original é - e - t . Na coluna em que ele estava retiramos o número e - t e, na linha em que ele estava retiramos o número 0. Tudo bem???

Na matriz reduzida este termo será - e - t - e - t x 0 = - e - t . Fez sentido agora? Vamos então determinar a matriz reduzida:

1 - t x 0 - e - t - e - t x 0 e - t - t e - t - t e - t x 0 0 - t x 0 e - t - e - t x 0 - 2 e - t + t e - t - t e - t x 0 0 - t x 0 - e - t - e - t x 0 3 e - t - t e - t - t e - t x 0 =

1 - e - t e - t - t e - t 0 e - t - 2 e - t + t e - t 0 - e - t 3 e - t - t e - t

Agora que temos uma matriz 3x3 podemos calcular o determinante:

W = 1 - e - t e - t - t e - t 0 e - t - 2 e - t + t e - t 0 - e - t 3 e - t - t e - t =

3 e - 2 t - t e - 2 t - 2 e - 2 t + t e - t =

W = e - 2 t

Resposta

As funções são solução e o wronskiano é W = e - 2 t .

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Usando o método de redução de ordem, mostre que, se r 1 for uma raiz repetida de r ( r - 1 ) + α r + β = 0 , então x r 1 e x r 1 serão soluções de x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0 para x0 .
2 - d x d t = 5 - 1 3 1 x
5 - d x d t = 1 - 5 1 - 3 x
1 - d x d t = 3 - 2 2 - 2 x
3 - d x d t = 2 - 1 3 - 2 x