Enunciado

17-20. Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.

20. R ( t ,   u ) , no qual   t = t ( w ,   x ,   y ,   z ) , u = u ( w ,   x ,   y ,   z ) .

Passo 1

Então galera, só reescrevendo o que o enunciado nos informa, temos que descobrir:

∂ R ∂ w ;   ∂ R ∂ x ;   ∂ R ∂ y   e   ∂ R ∂ z

E temos que:

t = t ( w ,   x ,   y ,   z )

u = u ( w ,   x ,   y ,   z )

Passo 2

Fazendo o diagrama de árvore para facilitar a visualização das variáveis, teremos:

Utilizando os conceitos abordados na seção 14.5 do Stewart, temos que as derivadas parciais, utilizando a regra da cadeia, serão:

∂ R ∂ w = ∂ R ∂ t ∂ t ∂ w + ∂ R ∂ u ∂ u ∂ w

∂ R ∂ x = ∂ R ∂ t ∂ t ∂ x + ∂ R ∂ u ∂ u ∂ x

∂ R ∂ y = ∂ R ∂ t ∂ t ∂ y + ∂ R ∂ u ∂ u ∂ y

∂ R ∂ z = ∂ R ∂ t ∂ t ∂ z + ∂ R ∂ u ∂ u ∂ z

E está aí nossas derivadas!

Resposta

∂ R ∂ w = ∂ R ∂ t ∂ t ∂ w + ∂ R ∂ u ∂ u ∂ w

∂ R ∂ x = ∂ R ∂ t ∂ t ∂ x + ∂ R ∂ u ∂ u ∂ x

∂ R ∂ y = ∂ R ∂ t ∂ t ∂ y + ∂ R ∂ u ∂ u ∂ y

∂ R ∂ z = ∂ R ∂ t ∂ t ∂ z + ∂ R ∂ u ∂ u ∂ z

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