1.

Seja T ( x , y , z ) uma função diferenciável e suponha que ela representa a temperatura em graus Celsius em cada ponto de uma sala (as dimensões x , y e z são medidas em metros). Suponha ainda que T possui as seguintes propriedades:

T 5,4 , 2 = 30 °   ; ∂ T ∂ x 5,4 , 2 = 3 ° / m ;   ∂ T ∂ y 5,4 , 2 = - 1 ° / m ;   ∂ T ∂ z 5,4 , 2 = 1 ° / m

Uma mosca está voando por esta sala.

Se a posição em cada instante t (dado em segundos) for representada pelo caminho

x = t 2 + 1

y = 2 t

z = 10 - t 3

Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo neste caminho, no instante t = 2 segundos.

Resolução
2.

Sejam f ( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 2,1 ) e r t = 4 t + 2 ,   e 2 t . Sabendo que f x 2,1 = 1  

d d t f r t t = 0 = 0 ,

podemos afirmar que f y ( 2,1 ) vale:

(a) - 1 .

(b) 1 .

(c) - 2 .

(d) 0 .

(e) nada pode se afirmar

Resolução
3.

Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C ¹ e

f 1,3 = - 1

∂ f ∂ x 1,3 = 4

∂ f ∂ y 1,3 = - 3

Sabe-se que a curva de equação

σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t

Está contida no gráfico da função z = f ( x , y ) . Calcule d z d t ( t 0 ) , onde t 0 é o valor de t no ponto 1,3

Resolução
4.

Seja

g t = f 3 t 2 , t 3 , e 2 t

Suponha

∂ f ∂ z 0,0 , 1 = 4

  1. Expresse g ' ( t ) em termos das derivadas parciais de f
  2. Calcule g ' ( 0 )
Resolução
5.

A temperatura num ponto x , y é T ( x , y ) , medida em graus Celsius. Um inseto resteja de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por x = 1 + t   ,   y = 2 + t 3   , onde x e y são medidas em centímetros. A função temperatura satisfaz T x 2,3 =   4   ,   T y 2,3 =   3 . Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos?

Resolução
6.

Uma montanha tem a superfície descrita por

z = f x , y = 142 - 4 x 2 - y 2

Um esquiador está no ponto A = - 2 ,   1 ,   125 .

Se o esquiador descer a montanha e sua posição em cada instante é dada por

R t = x t ,   y t , z t

Onde

x t = t 3 - 3 t   y t = t 2   z t = f x t , y t

Determine a componente vertical da velocidade do esquiador, isto é, d z d t , quando ele passar pelo ponto B = 2 ,   4 ,   110 .

Resolução
7.

Seja f x , y uma função diferenciável no ponto 2,1 tal que f x 2,1 = 2 . Seja r t = t + 2 , e 2 t . Sabendo que

d d t f r t t = 0 = - 2

quanto vale f y 2,1 ?

  1. - 2
  2. - 6
  3. 0
  4. 2
  5. Nenhuma das outras alternativas
Resolução
8.

Seja f : R 2 → R uma função diferenciável que satisfaz

  1. A imagem da curva γ t = t , t 3 + 1 , t 2 - t está contida no gráfico de f .
  2. f s - 1 , s 2 = 2 , ∀ s ∈ R .

Considere, ainda, o ponto P = - 1 , 0 , f - 1,0 .

a) Determine f - 1 , 0 e dê uma equação para a reta tangente à curva γ em P .

b) Calcule ∇ f - 1,0 e dê a equação do plano tangente ao gráfico de f em P .

c) A superfície 2 x z - 2 y + z 2 = 0 intercepta o gráfico de f em uma curva C que contém P . Determine uma equação para a reta tangente à curva C no ponto P .

Resolução
9.

Seja F     : R 2 → R uma função de classe C 1 . Sabe-se que

F 3 t 2 - t , t 2 = 9 t 2 - 6 t + 1

Para todo

- 1 ≤ t < - 1 2

E que a parábola

x 2 - 16 y = 0

Está contida na curva de nível 16 de F . Determine ∇ F ( 4,1 ) .

Resolução
10.

A temperatura (em graus Celsius ) em uma placa de metal é dada por T x , y = 36 - 2 x 2 - 4 y ² , onde x e y são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto P = ( 2,1 ) .

Se o objeto percorrer uma curva γ e sua posição em cada instante t (segundos) é dada por r t = t , t 2 4 , determine sua taxa de variação de temperatura em relação ao tempo quando ele passar pelo ponto Q = 4,4 .

Resolução
11.

Considere a função

T x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Que mede a temperatura em ° C de um corpo no espaço. Uma partícula percorre a trajetória dada por

σ t = x t , y t , z t

Passando pelo ponto P = ( 1,2 , 2 ) no instante t = 4   m i n com veor velocidade σ ' 4 = ( - 1,2 , - 1 ) . A taxa de variação da temperatura da partícula, quando ela se encontra sobre o ponto P , será:

a 14 ° C / m i n

b 2 ° C / m i n

c 4 ° C / m i n

d 8 ° C / m i n

e 6 ° C / m i n

Resolução
13.

Se

f x , y = e x y

g t = cos ⁡ t

h t = sen ⁡ t

E

F t = f g t , h t

Calcule F ' ( 0 )

Resolução
14.

Seja f x , y , z = x 2 + 3 y 2 + z 2 - 2 x y

c) Considere a curva espacial α t = x t ,   y t , z t . Calcule a derivada da função g t = f x t , y t , z t , quando t = t 0 , ou seja, g ' t 0 sabendo-se que:

x t 0 = 1   , y t 0 = 2   , z t 0 = - 1

x ' t 0 = 2   ,   y ' t 0 = 2   ,   z ' t 0 = 1

Resolução
15.

Seja

z = cos ⁡ x + 4 y

x = 5 t 4

y = 1 t

Encontre ∂ z ∂ t .

Resolução
16.

Suponha que z = f x , y , onde f : R 2 → R é uma função diferenciável verificando

4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 2

Mostre que f é uma função de primeiro grau sobre a elipse x 2 4 + y 2 = 1  

Sugestão: Use a parametrização da elipse x = 2 c o s θ , y = s e n θ .

Resolução
17.

Seja f : R 2 ⟶ R uma função cujo gradiente é dado por ∇ f x , y = 2 x y 3 + 3 ,   3 x 2 y 2 - 2 . Considere a curva parametrizada por

x t = t 2   y t = t 3 - t

E a função F definida por F t = f x t , y t . Calcule d F d t 1 .

  1. 2
  2. - 10
  3. 2,2
  4. 10
  5. - 2
  6. 3 , - 2
Resolução
18.

Sendo ϕ t uma função diferenciável, qual igualdade se verifica para a função z = y 2 3 x + ϕ x y ?

a y 2 ∂ z ∂ x + x y ∂ z ∂ y + y 2 = 0

b ∂ z ∂ x + x ∂ z ∂ y + x 2 = 0

c x 2 ∂ z ∂ x - x y ∂ z ∂ y + y 2 = 0

d x 2 ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y + x y = 0

e x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y = 0

Resolução
19.

Considere a função dada por z = e y ϕ ( x - y ) , em que ϕ é uma função diferenciável de uma variável real.

  1. Mostre que ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = z .
Resolução
20.

Sejam f ( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 2,1 ) e r t = 4 t + 2 ,   e 2 t . Sabendo que f x 2,1 = 1  

d d t f r t t = 0 = 0 ,

podemos afirmar que f y ( 2,1 ) vale:

(a) - 1 .

(b) 1 .

(c) - 2 .

(d) 0 .

(e) nada pode se afirmar

Resolução
21.

Seja f   : R 2 \ { ( 0,0 ) }   → R uma função diferenciável. Suponha que exista n > 1 tal que f t x , t y = t n f ( x , y ) para todo t ≠ 0 e ( x , y ) ∈ R 2 \ { ( 0,0 ) } . Então, para todo x 0 , y 0 ) ∈ R 2 \ { ( 0,0 ) } , vale

  1. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = n f ( x 0 , y 0 )
  2. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = n 2 f x 0 , y 0
  3. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = 0
  4. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = x 0 f x 0 , y 0 + y 0 f x 0 , y 0
  5. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = x 0 n f x 0 , y 0 + y 0 n f x 0 , y 0
Resolução
22.

Mostre que qualquer função da forma

z = f x + a t + g ( x - a t )

É uma solução da equação da onda

z t t ' ' = a 2 z x x ' '

Onde a é uma constante.

Resolução
23.

Seja G ( x , y ) uma função diferenciável em R 2 tal que

G t 3 - t - 1 cos ⁡ t 2 - 1 , 1 - t 2 = t 3 - t 2 - t

Para todo t ∈ R .

Assinale a alternativa da direção e sentido de maior variação da função G no ponto ( 1,0 ) :

  1. ( 1,1 )
  2. - 1 2 , 1
  3. 1 , - 1 2
  4. - 1 , - 1
  5. 1 2 , - 1
Resolução
24.

Seja G ( x , y ) uma função diferenciável em R 2 tal que

G 1 - 2 t 2 , t 3 - t - 1 cos ⁡ t 2 - 1 = - t 3 + t 2 + t

Para todo t ∈ R .

Assinale a alternativa da direção e sentido de maior variação da função G no ponto ( - 1,1 ) :

  1. - 1 , - 1 2
  2. 1 2 , 1
  3. 1 , - 1 2
  4. - 1 , 1 2
  5. - 1 2 , - 1
Resolução
25.

Seja G ( x , y ) uma função diferenciável em R 2 tal que

G t 3 - t - 1 cos ⁡ t 2 - 1 , 1 - 2 t 2 = t 3 - t 2 - t

Para todo t ∈ R .

Assinale a alternativa da direção e sentido de maior variação da função G no ponto ( 1 , - 1 ) :

  1. ( 1,1 )
  2. - 1 2 , 1
  3. 1 , 1 2
  4. - 1 , - 1
  5. 1 2 , - 1
Resolução
26.

Seja G ( x , y ) uma função diferenciável em R 2 tal que

G 1 - t 2 , t 3 - t - 1 cos ⁡ t 2 - 1 = - t 3 + t 2 + t

Para todo t ∈ R .

Assinale a alternativa da direção e sentido de maior variação da função G no ponto ( 0,1 ) :

  1. ( 1,1 )
  2. - 1 2 , 1
  3. 1 , - 1 2
  4. - 1 , - 1
  5. 1 2 , - 1
Resolução
27.

Considere w = f ( x , y , z ) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais contínuas ∂ w ∂ x , ∂ w ∂ y , ∂ w ∂ z em algum intervalo e x , y e z são funções de outra variável t .

Então d w d t = ∂ w ∂ x . d x d t + ∂ w ∂ y . d y d t + ∂ w ∂ z . d z d t .

Diz-se que d w d t é a derivada total de w em relação a t e representa a taxa de variação de w à medida que t varia.

Supondo w = x 2 - 3 y 2 + 5 z 2 onde x = e t , y = e - t , z = e 2 t , calcule d w d t sendo t = 0 .

Resolução
28.

A intensidade de um campo elétrico no plano x y é dada por uma função diferenciável E :   R 2 → R . Uma partícula de prova passeia ao longo da curva γ t = t 2 + 1 ,   3 t ,   t ∈ [ 0 ,   + ∞ [ . Sabendo que ∂ E ∂ x 10 ,   9 = 3 e ∂ E ∂ y 10 ,   9 = - 8 , a taxa de variação da intensidade do campo que a partícula experimenta no instante t = 3 de seu movimento é de:

a) - 6 .

b) 10 .

c) 6 .

d) - 10 .

e) 0 .

Resolução
29.

A intensidade de um campo elétrico no plano x y é dada por uma função diferenciável E :   R 2 → R . Uma partícula de prova passeia ao longo da curva γ t = t 2 + 1 ,   3 t ,   t ∈ [ 0 ,   + ∞ [ . Sabendo que ∂ E ∂ x 2 ,   3 = 6 e ∂ E ∂ y 2 ,   3 = - 2 , a taxa de variação da intensidade do campo que a partícula experimenta no instante t = 1 de seu movimento é de:

a) 6 .

b) 10 .

c) - 6 .

d) - 10 .

e) 0 .

Resolução
30.

A intensidade de um campo elétrico no plano x y é dada por uma função diferenciável E :   R 2 → R . Uma partícula de prova passeia ao longo da curva γ t = t 2 + 1 ,   3 t ,   t ∈ [ 0 ,   + ∞ [ . Sabendo que ∂ E ∂ x 5 ,   6 = 4 e ∂ E ∂ y 5 ,   6 = - 2