Enunciado

Um modelo para a área da superfície do corpo humano é dado por S = 0,1091 w 0,425 h 0,725 , onde w é o peso (em libras), h é a altura (em polegadas) e S é a medida em pés quadrados. Se os erros nas medidas de w e h forem no máximo de 2 % , use diferenciais para estimar a porcentagem de erro máxima na área da superfície calculada.

Passo 1

Então pessoal, para calcularmos o erro relativo máximo da área da superfície calculada devemos realizar as seguintes razões:

∆ w w   e   ∆ h h

No entanto, ambas razões têm que ser menor ou igual a 2 % , segundo o enunciado! Esse é o dado que nos permite realizar o cálculo em questão. Para a superfície, temos:

∆ S S ≈ d S S

E como sabemos, para calcularmos a diferencial total temos que fazer:

d S = f w w ,   h d w + f h w ,   h d h = ∂ S ∂ w d w + ∂ S ∂ h d h

Logo, temos que calcular:

d S S = ∂ S ∂ w d w + ∂ S ∂ h d h S

Passo 2

Calculando as derivadas, teremos:

∂ S ∂ w = 0,1091.0,425 . w - 0,575 . h 0,725

∂ S ∂ h = 0,1091.0,725 . w 0,425 . h - 0,275

Sendo assim:

d S S = 0,1091.0,425 . w - 0,575 . h 0,725 d w + 0,1091.0,725 . w 0,425 . h - 0,275 0,1091 w 0,425 h 0,725

Simplificando:

d S S = 0,425 . d w w + 0,725 . d h h

Passo 3

Assim como comentado no passo 1, temos que essas razões abaixo têm que ser menor ou igual a 0,02 , se liga:

∆ w w   e   ∆ h h ≤ 0,02

E podemos fazer a seguinte aproximação:

∆ w w = d w w = 0,02

∆ h h = d h h = 0,02

Sendo assim:

d S S = 0,425 . 0,02 + 0,725 . 0,02 = 0,023

Sendo assim, a porcentagem de erro máxima para a medida da área é 2,3 % .

Resposta

d S S = 2,3 %

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