17-40 Encontre os limites.

34. lim x → 0 ⁡ x c o s ⁡ ( 1 2 π - x )

Passo 1

Vamos começar tentando reescrever o denominador. Sabemos que

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n a s e n ( b )

Agora, é só aplicar a fórmula no denominador da nossa função racional. Assim, teremos

cos ⁡ 1 2 π - x = cos ⁡ π 2 c o s x + s e n π 2 s e n x = s e n x

Passo 2

lim x → 0 ⁡ x c o s ⁡ ( 1 2 π - x ) = lim x → 0 ⁡ x s e n x

Olhando para isso eu lembro logo daquele teorema que diz que lim x → 0 ⁡ s e n x x . Mas o nosso denominador e numerador estão invertidos e agora ???? É só a gente reescrever a nossa fração da seguinte maneira:

x s e n x = 1 s e n x x

Perceba que nós não alteramos o valor dela.

Dessa forma, temos que

lim x → 0 ⁡ x s e n x = lim x → 0 ⁡ 1 s e n x x

lim x → 0 ⁡ 1 lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1 1 = 1

Resposta

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