17-40 Encontre os limites

35- lim θ → 0 ⁡ θ 2 1 - cos ⁡ θ            

Passo 1

Gente, a primeira coisa que nos temos que lembrar aqui é que:

s e n 2 θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Infelizmente, não temos esse termo no denominador, então vamos multiplicar pelo conjugado para que ele apareça :

lim θ → 0 ⁡ θ 2 1 - cos ⁡ θ × 1 + c o s θ 1 + c o s θ =   l i m θ → 0 θ 2 ( 1 + c o s θ ) 1 - co s 2 ⁡ θ

Substituindo por s e n 2 θ , temos:

lim θ → 0 ⁡ θ 2 s e n 2 θ × lim θ → 0 ⁡ 1 + c o s θ

Abrindo o primeiro limite:

lim θ → 0 ⁡ θ s e n θ × lim θ → 0 ⁡ θ s e n θ × lim θ → 0 ⁡ ( 1 + c o s θ )

Gente, esse dois com s e n θ me lembram daquele limite trigonométrico fundamental:

lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1

Passo 2

Você pode estar se perguntando..... Mas como eu vou usar esse teorema se as minhas frações estão invertidas ???

Nós podemos resolver esse problema assim:

lim θ → 0 ⁡ 1 s e n θ θ × lim θ → 0 ⁡ 1 s e n θ θ      

Substituindo θ por x , temos:

lim x → 0 ⁡ 1 s e n x x ×   lim x → 0 ⁡ 1 s e n x x   = 1 × 1 = 1      

Agora, fazendo o último limite, temos :

lim θ → 0 ⁡ ( 1 + c o s θ ) = 2

Assim,

lim θ → 0 ⁡ θ 2 1 - cos ⁡ θ = 1 × 1 × 2 = 2

Resposta

2

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