19-24. Encontre d^2y / dx^2 .

22. y = x^2 \* cos(x) + 4sen x

Passo 1

Então galera, a princípio o que seria encontrar d 2 y d x 2 ? Essa notação significa que devemos derivar a função que nos foi dada duas vezes, ou seja, derivar y para encontrarmos y ' e depois derivar y ' para encontrarmos y ' ' , ou melhor, d 2 y d x 2 . Show!

Ademais, caso precisemos, a seção 5 do Anton já nos cede o resultado de algumas derivadas trigonométricas. Então sempre que aparecer uma função trigonométrica pra gente, basta olharmos o resultado de sua derivada aqui ↓!

d d x s e n   x = cos ⁡ x   d d x cos ⁡ x = - s e n   x   d d x t g   x = sec 2 ⁡ x

d d x sec ⁡ x = sec ⁡ x . t g   x   d d x c o t g   x = - c o s s e c 2   x

d d x c o s s e c   x = - c o s s e c   x . c o t g   x

Então vamo que vamo!

Passo 2

A função que nos foi dada é:

y = x 2 . cos ⁡ x + 4 s e n   x

Como temos um produto de duas funções x 2 . cos ⁡ x , então devemos utilizar a regra do produto, que é a seguinte:

y = u . v

y ' = u ' . v + u . v '

No nosso caso, temos:

u = x 2

u ' = 2 x

v = cos ⁡ x

v ' = - s e n   x

Substituindo na regrinha, teremos:

y ' = 2 x . cos ⁡ x - x 2 . s e n   x + 4 cos ⁡ x

∴ y ' = 2 x . cos ⁡ x - x 2 . s e n   x + 4 cos ⁡ x

Encontramos y ' , agora vamos encontrar y ' ' !

Passo 3

Note que na nossa derivada aparece dois outros produtos, que são 2 x . cos ⁡ x e x 2 . s e n   x , então devemos aplicar mais duas regras do produto, uma para cada produto! Para o primeiro produto, temos:

u = 2 x

u ' = 2

v = cos ⁡ x

v ' = - s e n   x

E para o segundo produto, temos:

u = x 2

u ' = 2 x

v = s e n   x

v ' = cos ⁡ x

Substituindo na regrinha, teremos:

y ' ' = 2 . cos ⁡ x - 2 x . s e n   x - 2 x . s e n   x + x 2 . cos ⁡ x - 4 s e n   x

Simplificando:

y ' ' = 2 cos ⁡ x - 2 x . s e n   x - 2 x . s e n   x - x 2 . cos ⁡ x - 4 s e n   x

y ' ' = 2 cos ⁡ x - 4 x . s e n   x - x 2 . cos ⁡ x - 4 s e n   x

∴ d 2 y d x 2 = cos ⁡ x 2 - x 2 - 4 s e n   x x + 1

E essa é a nossa derivada segunda, galera! 😉

Resposta

d 2 y d x 2 = cos ⁡ x 2 - x 2 - 4 s e n   x x + 1

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