Enunciado

Encontre as coordenadas do ponto P na curva:

y = 1 x 2 x > 0

De modo que o segmento da reta tangente em P , determinado pelos eixos coordenados, tenha o menor comprimento.

Passo 1

Então pessoal, inicialmente vamos chamar as coordenadas do ponto P na curva de P x 0 ,   y 0 . Como temos a informação da curva que nos foi dada, então essas coordenadas pertencem à nossa curva, que é essa aqui:

y 0 = 1 x 0 2

Temos que o segmento da reta tangente em P vale:

y 0 ' = - 2 x 0 3

E a equação da reta é dada seguinte forma:

y - y 0 = m x - x 0

No qual m é a reta tangente. Substituindo o que temos:

y - 1 x 0 2 = - 2 x 0 3 x - x 0

∴ y = - 2 x 0 3 x + 3 x 0 2

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Passo 2

Para quando y = 0 , temos que:

3 x 0 2 = 2 x 0 3 x

∴ x = 3 2 x 0

E para quando x = 0 , temos que:

y = 3 x 0 2

Sendo assim, esses são os nossos comprimentos nos eixos cartesianos! Como o segmento de reta P é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por x e y , então:

L 2 = x 2 + y 2

L = 9 4 x 0 2 + 9 x 0 4

No entanto, queremos as coordenadas para quando L é mínimo, então teremos que utilizar os conceitos que conhecemos do cálculo! A fim de facilitar nossa derivação, vamos elevar ambos os membros da equação ao quadrado:

L 2 = 9 4 x 0 2 + 9 x 0 4

Passo 3

Derivando nossa expressão, teremos:

d L 2 d x 0 = 9 2 x 0 - 36 x 0 5

d L 2 d x 0 = 9 x 0 6 - 8 2 x 0 5

Igualando a zero:

9 x 0 6 - 8 2 x 0 5 = 0

A única forma disso resultar em zero é se:

x 0 6 - 8 = 0

Então:

x 0 = 8 6

∴ x 0 = 2

E disso tiramos que:

y 0 = 1 x 0 2

y 0 = 1 2 2

∴ y 0 = 1 2

E essas são as coordenadas do ponto P na curva de modo que o segmento da reta tangente em P , determinado pelos eixos coordenados, tenha o menor comprimento!

Resposta

Coordenadas: x 0 ,   y 0 = 2 , 1 2

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