Enunciado

Siga as instruções do Exercício 51, com x_A = t , y_A = t^2 , x_B = 2 t e y_B = 2 .

Passo 1

Então pessoal, assim como no Exercício 51, o que temos que fazer aqui é encontrar a distância mínima entre as partículas A e B , ok? Show! Aqui o enunciado nos cede coordenadas x e y que nos permite gerar uma equação geral para a distância das partículas. Para o eixo x temos o seguinte:

x = x_B - x_A

x = 2 t - t = t

E para o eixo y temos o seguinte:

y = y_B - y_A

y = 2 - t^2

Utilizando o teorema de Pitágoras, teremos:

D = sqrt(t^2 + (2 - t^2)^2)

D = sqrt(t^4 - 3 t^2 + 4)

Show, encontramos uma expressão para a distância das partículas.

Passo 2

Como queremos a distância mínima, então estamos falando de ponto de mínimo, não é mesmo? Sendo assim, utilizando os conceitos de cálculo teremos:

(d D)/(d t) = (1)/(2) (t^4 - 3 t^2 + 4)^(- (1)/(2)) . (4 t^3 - 6 t)

(d D)/(d t) = ((4 t^3 - 6 t))/(2 sqrt(t^4 - 3 t^2 + 4))

Igualando nossa derivada a zero:

((4 t^3 - 6 t))/(2 sqrt(t^4 - 3 t^2 + 4)) = 0

E a única forma disso dar zero é se:

(4 t^3 - 6 t) = 0

t (4 t^2 - 6) = 0

t = 0

t = sqrt((3)/(2))

Mas como estamos preocupados com t != 0 , então ficamos com apenas um resultado!

Passo 3

Como achamos o t para que a distância seja mínima, então vamos descobrir qual é essa bendita distância, se liga:

D (sqrt((3)/(2))) = sqrt((sqrt((3)/(2)))^4 - 3 (sqrt((3)/(2)))^2 + 4)

:. D_m í n i m a = (sqrt(7))/(2)

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

D_m í n i m a = (sqrt(7))/(2)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função f dada: f x = x x + 2
Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função f dada: f x = l n ⁡ ( 1 + x 2 )
Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função f dada: f x = x 2 . e x
Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função f dada: f x = x 2 x 2 + 1
Use diferenciação implícita para mostrar que a função definida implicitamente por s e n x + cos ⁡ y = 2 y tem pontos críticos, sempre que cos ⁡ x = 0 . Use, então, o teste da derivada primeira ou segu