Enunciado

19-24. Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.

21. x 2 - y 2 = 100

Passo 1

De acordo com a seção 10.5, desde que a hipérbole não esteja deslocada, são equações de hipérbole:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1   e   y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

Dessas duas equações a que se assemelha com a equação que nos foi dada pelo enunciado é o primeiro tipo. Para esse primeiro tipo a equação da hipérbole apresenta focos em:

± c , 0

Vértices em:

± a , 0

E, por fim, assíntotas em:

y = ± b a x

A equação que nos foi dada é:

x 2 - y 2 = 100

Dividindo tudo por 100 , teremos:

x 2 10 2 - y 2 10 2 = 1

Então disso podemos tirar que a = b = 10 , tranquilão?!

Passo 2

Beleza, agora já identificamos quem é a e b , mas falta identificar quem é c , não é mesmo? Para uma hipérbole podemos determinar c utilizando a seguinte relação:

c 2 = a 2 + b ²

Substituindo os valores de a e b , teremos:

c 2 = 10 2 + 10 2

c 2 = 200 ∴ c = ± 200

Prontinho, agora nosso problema já está praticamente resolvido! Determinamos a , b e c , então é só substituir nas relações comentadas no passo anterior, saca só:

f o c o s : 200 , 0   e   ( - 200 , 0 )

v é r t i c e s : 10 , 0   e   - 10 , 0

a s s í n t o t a s : y = x   e   y = - x

Por fim, esboçando o gráfico, teremos:

Resposta

f o c o s : 200 , 0   e   ( - 200 , 0 )

v é r t i c e s : 10,0   e   - 10,0

a s s í n t o t a s : y = x   e   y = - x

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Ache uma equação da circunferência satisfazendo as condições dadas: O centro está em - 3 , - 5 e é tangente à reta 12 ⋅ x + 5 ⋅ y = 4 .
Ache uma equação da reta que é tangente à circunferência x 2 + y 2 - 4 ⋅ x + 6 ⋅ y - 12 = 0 no ponto 5 ,1 .
Ache uma equação da circunferência satisfazendo as condições dadas: Tangente à reta 3 ⋅ x + 4 ⋅ y - 16 = 0 em 4 ,1 e com um raio de 5 (duas circunferências possíveis).
Ache uma equação da circunferência satisfazendo as condições dadas: Tangente à reta 3 ⋅ x + y + 2 = 0 em - 1 ,1 e passa pelo ponto 3 ,5 .
Ache uma equação de cada uma das duas retas com inclinação - 4 3 , que são tangentes à circunferência x 2 + y 2 + 2 ⋅ x - 8 ⋅ y - 8 = 0 .