Enunciado

19-26.

Use um recurso gráfico computacional, quando necessário, para encontra a região englobada pelas curvas.

20. y = x 3 - 2 x 2 ,   y = 2 x 2 - 3 x

Passo 1

Vamos começar falando a fórmula que vamos usar nessa questão e lembrando que depois, teremos que fazer o esboço das curvas!

Essa fórmula é a 6.1.2 Fórmula para a área

Se f e g forem contínuas no intervalo [ a , b ] e se f ( x ) ≥ g ( x ) em cada x de [ a , b ] , então a área da região limitada acima por y = f ( x ) , abaixo por y = g ( x ) , à esquerda pela reta x = a e à direita pela reta x = b é

A = ∫ a b f x - g ( x ) d x

Passo 2

Vamos começar desenhando nosso gráfico para assim vermos como a região é delimitada!

Em azul é a função y = 2 x 2 - 3 x e em vermelho é a função y = x 3 - 2 x 2

Temos que descobrir a as áreas das regiões pintadas, a primeira região, em preto, é delimitada à direita por x = 1 e à esquerda é delimitada por x = 0 , acima é delimitada pela função y = x 3 - 2 x 2 e abaixo por y = 2 x 2 - 3 x .

Botando nos termos da integral, temos:

f x = x 3 - 2 x 2

g x = 2 x 2 - 3 x

b = 1

a = 0

Montando a integral da primeira área, temos:

A 1 = ∫ 0 1 x 3 - 2 x 2 - 2 x 2 - 3 x = ∫ 0 1 x 3 - 4 x 2 + 3 x

Agora vamos calcular a segunda área, em verde!

A segunda região é delimitada à direita por x = 3 e à esquerda é delimitada por x = 1 , acima é delimitada pela função y = 2 x 2 - 3 x e abaixo por y = x 3 - 2 x 2 .

Botando nos termos da integral, temos:

f x = 2 x 2 - 3 x

g x = x 3 - 2 x 2

b = 3

a = 1

Montando a integral da segunda área, temos:

A 2 = ∫ 1 3 2 x 2 - 3 x - x 3 - 2 x 2 = ∫ 1 3 - x 3 + 4 x 2 - 3 x

Agora somando essas duas áreas para calcular a área total, temos:

A = A 1 + A 2

A = ∫ 0 1 x 3 - 4 x 2 + 3 x + ∫ 1 3 - x 3 + 4 x 2 - 3 x

Passo 3

Paramos na expressão da integral, então voltaremos dela!

A = ∫ 0 1 x 3 - 4 x 2 + 3 x + ∫ 1 3 - x 3 + 4 x 2 - 3 x

Vamos fazer a primeira integral, então:

∫ 0 1 x 3 - 4 x 2 + 3 x = x 4 4 - 4 x 3 3 + 3 x 2 2 1 0 = 1 4 - 4 1 3 + 3 1 2 = 1 4 - 4 3 + 3 2 = 3 - 16 + 18 12 = 5 12

Agora faremos a segunda!

∫ 1 3 - x 3 + 4 x 2 - 3 x = - x 4 4 + 4 x 3 3 - 3 x 2 2 3 1 = - 81 4 + 4 27 3 - 3 9 2 - - 1 4 + 4 1 3 - 3 1 2 = - 81 - 54 + 144 4 - - 3 + 16 - 18 12 = 9 4 + 5 12 = 32 12

Somando as duas áreas, temos:

A = 5 12 + 32 12 = 37 12

Resposta

A = 37 12

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