Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da região como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.

35. y = cos ⁡ x - s e n   x ; x = 0 ; y = 0

Passo 1

Vamos olhar as curvas e colocar num gráfico a região delimitada por elas com o elemento retangular. Depois escrevemos o limite por soma de Riemann e por fim, calculamos esse limite.

Passo 2

a) Colocando no gráfico, teremos:

Onde o ∆ x representa uma partição do intervalo [ 0 , π 4 ] no eixo x . ;)

Passo 3

b) Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

 lim | | ∆ | | → 0   ⁡ ∑ i = 1 n f ( w i ) ∆ i x = L

(no caso L é o valor da nossa área A )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é f ( w i ) ∆ i x , onde f ( w i ) é a nossa função que tá por cima mas num ponto w i que pertence a ∆ i x . A norma da partição é || ||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

A =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( c o s   w i - s e n   w i ) ∆ i x

A altura dos mini retângulos será a função y = cos ⁡ x - s e n   x .

Show? =]

Passo 4

c) Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esse limite pode ser calculado como uma integral de f x d x , assim ó:

  lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( c o s   w i - s e n   w i ) ∆ i x = ∫ 0 π 4 ( cos ⁡ x - s e n   x )   d x

Resolvendo...

∫ 0 π 4 ( cos ⁡ x - s e n   x )   d x

s e n   x + cos ⁡ x 0 π 4 = 2 2 + 2 2 - 0 + 1 = 2 - 1

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann :D

Resposta

a)

b) A =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( c o s   w i - s e n   w i ) ∆ i x

c) A = 2 - 1

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Ache a área da região limitada pela curva: y = 9 9 - x 2 pelos eixos coordenados e pela reta x = 2 2 .
Calcule a área da região situada no 1 ° quadrante, limitada acima pela curva x 4 - y 4 = 2 x y (coordenadas cartesianas) e abaixo por ρ 2 = 2 sen ⁡ 2 θ (coordenadas polares), com ρ ≥ 0 .
Calcule a área do conjunto de todos os pontos θ , ρ tais que θ 2 ≤ ρ ≤ θ (coordenadas polares).
Passe a curva dada para coordenadas polares e desenhe-a. x 2 + y 2 3 2 = y 2
Sejam F 1 e F 2 dois pontos distintos do plano e seja k a metade da distância de F 1 a F 2 . O lugar geométrico dos pontos P do plano tais que P F 1 - ⋅ P F 2 - = k 2 denomina-se lemniscata de focos F