1.Calcule.

A) ∫   s i n 2 x cos ⁡ x d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção, não subestime a força de uma integral hein e lembre-se precisamos escrever todos os termos da integral em função de uma nova variável u , sem mais delongas, vamos lá!

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos sin ⁡ x   de u :

sin ⁡ x = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( sin ⁡ x ) '   = ( u ) '

c o s x d x = d u

Passo 2

Será que chegamos ao nosso primeiro objetivo que é escrever todos os termos como função de u . Spoiler: Não, mas veremos o porquê. Anotaremos abaixo para poder ver melhor:

sin ⁡ x = u

Opaaaa! Olha a integral! Temos sin 2 ⁡ x e não sin ⁡ x , como faremos? Vem comigo:

Elevando ao quadrado:

sin 2 ⁡ x = u 2

c o s x d x = d u

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, mas a guerra não acabou hein! Substituiremos:

∫   s i n 2 x cos ⁡ x d x = ∫ u 2 d u  

Passo 3

A Integral acima é imediata, lembra da integral de funções polinomiais? Não, então uma colher de chá para você:

∫ u n d u   =   1 n + 1 u n + 1 + c

E para a integral da questão n = 2

∫   s i n 2 x cos ⁡ x d x = ∫ u 2 d u = u 3 3 + c

Substituiremos para voltar a variável inicial, lembre-se que queremos a resposta em função de x   e não u , Retornando ( sin ⁡ x = u ) , obtemos a resposta:

∫   s i n 2 x cos ⁡ x d x = sin 3 ⁡ x 3 + c

Resposta

∫   s i n x 2 cos ⁡ x d x = sin 3 ⁡ x 3 + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados