Calcule.

∫ ( 5 x - 1 + 2 x ) d x

Passo 1

Para começar, iremos “quebrar” essa integral para termos uma certa facilidade na questão:

∫ ( 5 x - 1 + 2 x ) d x = 5 ∫ 1 x - 1 d x + 2 ∫ 1 x d x

Das integrais acima, temos a primeira como não imediata e a segunda como imediata. Como já dizia o Mestre Morgado, se algo é mais complicado comece por essa coisa.

Focaremos nessa:

∫ 1 x - 1 d x

Passo 2

Chamaremos x - 1   de u :

x - 1 = u

Falta sabermos o d x , como saberemos? Utilizando a derivada na expressão acima:

( x - 1 ) ' = ( u ) '

d x = d u

Agora que temos tudo como função de u , substituiremos e iremos ver a mágica acontecer:

∫ 1 x - 1 d x   = ∫ 1 u d u

Se tornou uma integral imediata, ∫ 1 u d u = ln ⁡ | u | + c

∫ 1 x - 1 d x   = ∫ 1 u d u = ln ⁡ | u | + c

Passo 3

Substituindo u por x - 1 :

5 ∫ 1 x - 1 d x = 5 ln ⁡ | x - 1 | + c

E a outra integral é imediata:

2 ∫ 1 x d x = 2 ln ⁡ | x | + c

A nossa resposta é da forma:

∫ ( 5 x - 1 + 2 x ) d x = 5 ln ⁡ | x - 1 | + 2 ln ⁡ | x | + c

Resposta

∫ ( 5 x - 1 + 2 x ) d x = 5 ln ⁡ | x - 1 | + 2 ln ⁡ | x | + c

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