1.Calcule.

A) ∫   s i n 2 x cos 3 ⁡ x d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção. Antes de fazermos a integral propriamente, iremos dar uma mudada na “cara” da integral para ficar mais fácil a sua substituição, vamos lá:

∫ s i n 2 x cos 3 ⁡ x d x = ∫ sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

Com essa mudança apenas no aspecto, chamaremos sin ⁡ x   de u :

sin ⁡ x = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( sin ⁡ x ) '   = ( u ) '

c o s x d x = d u

Passo 2

Momento de reflexão: Temos tudo em função de u ? Não, pois inda falta o sin 2 ⁡ x e cos 2 ⁡ x , não é difícil conseguirmos, vamos nessa!

sin ⁡ x = u

Elevando ao quadrado:

sin 2 ⁡ x = u 2

E lembrando do nosso querido Ensino Médio sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 , logo:

cos 2 ⁡ x = 1 - u 2

Não se esqueça do d x , é um passo importante para resolvermos:

c o s x d x = d u

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, Substituiremos:

∫   s i n 2 x cos 3 ⁡ x d x = ∫ u 2 ( 1 - u 2 ) d u = ∫ ( u 2 - u 4 ) d u

Passo 3

‘’Quebraremos’’ a integral acima em duas integrais, lembrando que podemos fazer isso com a soma, mas não com o produto:

∫ ( u 2 - u 4 ) d u = ∫ u 2 d u - ∫ u 4 d u

Essas integrais são imediatas ( ∫ u n d u   =   1 n + 1 u n + 1 + c ):

∫ ( u 2 - u 4 ) d u = ∫ u 2 d u - ∫ u 4 d u = u 3 3 - u 5 5 + c

A nossa resposta não deve ser em função de u hein, mas sim em função de x ( sin ⁡ x = u ) . Retornando e obteremos a resposta:

∫ s i n 2 x cos 3 ⁡ x d x = sin 3 ⁡ x 3 - sin 5 ⁡ x 5 + c

Resposta

∫ s i n 2 x cos 3 ⁡ x d x = sin 3 ⁡ x 3 - sin 5 ⁡ x 5 + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados