Enunciado

1.Calcule.

A) int s i n^2 x cos^3 x d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção. Antes de fazermos a integral propriamente, iremos dar uma mudada na “cara” da integral para ficar mais fácil a sua substituição, vamos lá:

int s i n^2 x cos^3 x d x = int sin^2 x cos^2 x cos x d x

Com essa mudança apenas no aspecto, chamaremos sin x de u :

sin x = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( sin x ) ' = ( u ) '

c o s x d x = d u

Passo 2

Momento de reflexão: Temos tudo em função de u ? Não, pois inda falta o sin^2 x e cos^2 x , não é difícil conseguirmos, vamos nessa!

sin x = u

Elevando ao quadrado:

sin^2 x = u^2

E lembrando do nosso querido Ensino Médio sin^2 x + cos^2 x = 1 , logo:

cos^2 x = 1 - u^2

Não se esqueça do d x , é um passo importante para resolvermos:

c o s x d x = d u

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, Substituiremos:

int s i n^2 x cos^3 x d x = int u^2 ( 1 - u^2 ) d u = int ( u^2 - u^4 ) d u

Passo 3

‘’Quebraremos’’ a integral acima em duas integrais, lembrando que podemos fazer isso com a soma, mas não com o produto:

int ( u^2 - u^4 ) d u = int u^2 d u - int u^4 d u

Essas integrais são imediatas ( int u^n d u = (1)/(n + 1) u^(n + 1) + c ):

int ( u^2 - u^4 ) d u = int u^2 d u - int u^4 d u = (u^3)/(3) - (u^5)/(5) + c

A nossa resposta não deve ser em função de u hein, mas sim em função de x ( sin x = u ) . Retornando e obteremos a resposta:

int s i n^2 x cos^3 x d x = (sin^3 x)/(3) - (sin^5 x)/(5) + c

Resposta

int s i n^2 x cos^3 x d x = (sin^3 x)/(3) - (sin^5 x)/(5) + c

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