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20. y 4 - 8 y ' = 0

Passo 1

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

y 4 - 8 y ' = 0   →

r 4 - 8 r = 0   →

r r 3 - 8 = 0

Dessa equação, já podemos tirar a primeira raiz:

r 1 = 0

Agora se quem for 0 for o termo do parênteses:

r 3 - 8 = 0   →

r 3 = 8   →

r = 8 1 / 3

Certamente teremos 3 raízes (2 serão complexas)! Vamos calculá-las?

Passo 2

Primeiro, devemos transformar 8 em um número complexo:

8 = 8 cos ⁡ 2 π + i sin ⁡ 2 π   →

Afinal cos ⁡ 2 π = 1 e sin ⁡ 2 π = 0 . Como qualquer múltiplo m de 2 π é também 1 e 0 para o cosseno e seno...

8 = 8 cos ⁡ 2 π m + i sin ⁡ 2 π m   →

Pela notação de Euler então...

8 = 8 e 2 π m  

Beleza! Como queremos achar as raízes complexas de 8 1 / 3 , então...

8 1 3 = 8 e 2 π m i 1 3   →

8 1 3 = 8 3 e 2 π m 3 i     →

Transformando para cosseno e seno então...

8 1 3 = 2 cos ⁡ 2 π 3 m + i sin ⁡ 2 π 3 m    

Fazendo então m = 0 , m = 1 e m = 2 , m = 3 ...

  • Para o m = 0 :
  • 2 cos ⁡ 0 + i sin ⁡ 0       =

    2

  • Para m = 1 ...
  • 2 cos ⁡ 2 π 3 + i sin ⁡ 2 π 3    

    Calculando esses senos e cossenos...

    2 - 1 2 + 3 2 i    

  • Para m = 2 ...

2 cos ⁡ 4 π 3 + i sin ⁡ 4 π 3    

Calculando esses senos e cossenos...

2 - 1 2 - 3 2 i

Então essas são as raízes são...

r 2 = 2 ; r 3 =   - 1 + 3 i             e         r 4 =   - 1 - 3 i

Passo 3

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

  • Para r 1 = 0 como ele é real...
  • y 1 = e r 1 t = 1

  • Para r 2 = 1 como ele é real...
  • y 2 = e r 2 t = e 2 t

  • Para r 3 =   - 1 + 3 i como ele é imaginário a + b i ...
  • y 3 = e a t sin ⁡ b t = e - t sin ⁡ 3 t

  • Para r 4 = - 1 - 3 i como ele é imaginário a - b i ...

y 4 = e a t cos ⁡ b t = e - t cos ⁡ 3 t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y 4

y = c 1 + c 2 e 2 t + c 3 e - t sin ⁡ 3 t + c 4 e - t cos ⁡ 3 t

Resposta

y = c 1 + c 2 e 2 t + c 3 e - t sin ⁡ 3 t + c 4 e - t cos ⁡ 3 t

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