Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

y ' ' + 4 y ' - y = 0

Passo 1

E aíí, vamos resolver essa equação diferencial!!

Temos uma equação diferencial de segunda ordem, então podemos usar a equação auxiliar (3) dessa seção do seu livro:

a m 2 + b m + c = 0

1) Se tivermos duas raízes reais e distintas ( m 1 e m 2 ), as soluções da EDO serão y 1 = e m 1 x e y 2 = e m 2 x , e aí a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x

2) Se tivermos duas raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos duas raízes complexas conjugadas (quando o delta é negativo sabe?), se m 1 = α + i β e m 2 = α - i β , a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' + 4 y ' - y = 0

Assim:

m 2 + 4 m - 1 = 0

Vamos resolver essa equação

Calculando o :

∆ = 4 2 - 4.1 . ( - 1 )

∆ = 16 + 4 = 20

Então:

m = - 4 ± 2 0 2

Fatorando a raíz quadrada de 20:

m = - 4 ± 2 5 2

m = - 2 ± 5

m 1 = - 2 + 5                         m 2 = - 2 - 5

Temos duas soluções reais, então usando o primeiro caso lá do passo 1, nossa solução geral é:

y = c 1 . e ( - 2 + 5 ) x + c 2 . e ( - 2 - 5 ) x

E é isso

Resposta

y = c 1 . e ( - 2 + 5 ) x + c 2 . e ( - 2 - 5 ) x

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