Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 21
21.
Passo 1
Ora! Aqui temos que resolver uma EDO homogênea linear a coeficientes constantes, porém ela é de ordem superior. Mas vimos que pouca coisa muda né? Basicamente é só mais trabalho mesmo haha.
Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:
Veja que graças à propriedade:
Podemos escrever essa equação dessa forma aqui:
Então as raízes multiplicidade e elas serão:
Então temos que encontrar essas raízes aí que serão complexas!
Passo 2
Primeiro, devemos transformar em um número complexo:
Afinal e . Como qualquer múltiplo de é também e para o cosseno e seno...
Pela notação de Euler então...
Beleza! Como queremos achar as raízes complexas de , então...
Transformando para cosseno e seno então...
Fazendo então , e , ...
- Para o :
- Para ...
- Para ...
- Para ...
Então essas são as raízes complexas...
Cada uma com multiplicidade (se repetem).
Passo 3
Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de . Vamos nessa?
- Para como ele é imaginário...
- Para (afinal ele se repete). Lembre-se de colocar o quando isso acontece...
- Para como ele é imaginário...
- Para (afinal ele se repete também)...
A solução geral então pode ser dada por...
Onde ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!
Resposta
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