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21. y 8 + 8 y 4 + 16 y = 0

Passo 1

Ora! Aqui temos que resolver uma EDO homogênea linear a coeficientes constantes, porém ela é de ordem superior. Mas vimos que pouca coisa muda né? Basicamente é só mais trabalho mesmo haha.

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

y 8 + 8 y 4 + 16 y = 0   →

r 8 + 8 r 4 + 16 = 0

Veja que graças à propriedade:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Podemos escrever essa equação dessa forma aqui:

r 4 + 4 2 = 0

Então as raízes multiplicidade 2 e elas serão:

r 4 + 4 = 0   →

r 4 = - 4   →

r = - 4 1 / 4

Então temos que encontrar essas raízes aí que serão complexas!

Passo 2

Primeiro, devemos transformar - 4 em um número complexo:

- 4 = 4 cos ⁡ π + i sin ⁡ π   →

Afinal cos ⁡ π = - 1 e sin ⁡ π = 0 . Como qualquer múltiplo m de 2 π é também 1 e 0 para o cosseno e seno...

- 4 = 4 cos ⁡ π + 2 m π + i sin ⁡ π + 2 m π   →

Pela notação de Euler então...

- 4 = 4 e π + 2 m π i  

Beleza! Como queremos achar as raízes complexas de - 4 1 / 4 , então...

- 4 1 4 = 4 1 / 4 e π + 2 m π i 1 4   →

- 4 1 4 = 2 e π 4 + π 2 m i  

Transformando para cosseno e seno então...

- 4 1 4 =   2 cos ⁡ π 4 + π 2 m + i sin ⁡ π 4 + π 2 m

Fazendo então m = 0 , m = 1 e m = 2 , m = 3 ...

  • Para o m = 0 :
  • 2 cos ⁡ π 4 + i sin ⁡ π 4   =

    2 2 2 + 2 2 i =

    1 + i

  • Para m = 1 ...
  • 2 cos ⁡ π 4 + π 2 + i sin ⁡ π 2 =    

    2 - 2 2 + 2 2 i =    

    - 1 +     i

  • Para m = 2 ...
  • 2 cos ⁡ π 4 + π + i sin ⁡ π 4 + π   =

    2 cos ⁡ 5 π 4 + i sin ⁡ 5 π 4   =

    2 - 2 2 - 2 2 i =

    - 1 - i

  • Para m = 3 ...

2 cos ⁡ π 4 + 3 π 2 + i sin ⁡ π 4 + 3 π 2   =

2 cos ⁡ 7 π 4 + i sin ⁡ 7 π 4   =

2 2 2 - 2 2 i =

1 - i

Então essas são as raízes complexas...

r = 1 ± i             e           r = - 1 ± i

Cada uma com multiplicidade 2 (se repetem).

Passo 3

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

  • Para r = 1 ± i como ele é imaginário...
  • y 1 = e t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t

  • Para r = 1 ± i (afinal ele se repete). Lembre-se de colocar o t quando isso acontece...
  • y 2 = t e t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t

  • Para r = - 1 ± i como ele é imaginário...
  • y 3 = e - t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t

  • Para r = - 1 ± i (afinal ele se repete também)...

y 4 = t e - t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t

A solução geral então pode ser dada por...

y = y 1 + y 2 + y 3 + y 4   →

y = e t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t + t e t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t + e - t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t + t e - t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = e t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t + t e t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t + e - t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t + t e - t c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t

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