Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

2 y ' ' - 5 y ' = 0

Passo 1

E aíí, vamos resolver essa equação diferencial!!

Temos uma equação diferencial de segunda ordem, então podemos usar a equação auxiliar (3) dessa seção do seu livro:

a m 2 + b m + c = 0

1) Se tivermos duas raízes reais e distintas ( m 1 e m 2 ), as soluções da EDO serão y 1 = e m 1 x e y 2 = e m 2 x , e aí a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x

2) Se tivermos duas raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos duas raízes complexas conjugadas (quando o delta é negativo sabe?), se m 1 = α + i β e m 2 = α - i β , a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever 2 y ' ' - 5 y ' = 0

Assim:

2 m 2 - 5 m = 0

Vamos resolver essa equação

Colocando o m em evidência:

m . 2 m - 5 = 0

Então, nossas soluções são:

m 1 = 0

2 m 2 - 5 = 0 → m 2 = 5 2

Temos duas soluções reais, então usando o primeiro caso lá do passo 1, nossa solução geral é:

y = c 1 . e 0 . x + c 2 . e 5 2 x

y = c 1 + c 2 . e 5 x 2

E é isso

Resposta

y = c 1 + c 2 . e 5 x 2

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3. Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais:a) f ' = 0 ; b) f n = 0 c) f ' = f d) f ' = a fa∈ R .
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1. Achar a solução geral de cada um das seguintes equações:a) y ' ' + y ' - 6 y = 0 b) D 2 + 2 D - 15 y = 0 c) D 3 + D 2 - 2 D y = 0 d) D 3 + 2 D 2 - 5 D - 6 y = 0 e) D 4 - 6 D 3 + 12 D 2 - 8 D y = 0
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