Enunciado

21. Suponha que as condições são como no Problema 20, exceto que existe uma força devido àresistência do ar com sentido oposto ao da velocidade e magnitude |υ|/30, em que a velocidadeυ é medida em m/s.(a) Encontre a altura máxima acima do solo alcançada pela bola.(b) Encontre o instante em que a bola bate no chão.(c) Desenhe os gráficos da velocidade e da posição em função do tempo. Compare essesgráficos com os gráficos correspondentes no Problema 20.

Passo 1

Quando começamos a falar de resistência do ar começar a fala das Forças de Arrasto. Que podem ser Linear ou Quadráticas. A que estamos trabalhando em questão é a Linear que tem o seguinte formato

F a =   - k v

No nosso caso nossa força de arrasto é

F a =   - 1 30 | v |

Passo 2

Para resolver essa questão precisamos fazer uma análise das forças em questão

F r =   - F g - F a

m a =   - m g - k v

Podemos fazer um pequeno truque aqui

m d v d t =   - m g - k v

d v d t =   - g - k m v

E olha que ótimo temos em mãos uma equação separável, isso facilita muito nosso trabalho

1 g + k m v d v =   - 1 d t

Vamos integrar em ambos os lados agora

m k ln ⁡ g + k m v =   - t + C

Fazendo umas manipulações podemos escrever nossa função como

g + k m v = C e - t k m

v = m k C e - t k m - g

Passo 3

Vamos descobrir o valor de C , utilizando os dados de contorno

v 0 = 20

20 =   m k C - g  

C = k m 20 + g

Logo nossa função é

v = m k k m 20 + g e - t k m - g

Passo 4

A altura máxima sera quando a velocidade do nosso corpo atingir zero durante a subida

v = m k k m 20 + g e - t k m - g

0 =   k m 20 + g e - t k m - g

g = k m 20 + g e - t k m

e - t k m = g k m 20 + g  

- t k m = ln ⁡ g k m 20 + g

- t k m = ln ⁡ 1 k m g 20 + 1

- t k m = - ln ⁡ k m g 20 + 1

t = m k ln ⁡ k m g 20 + 1

Assim o tempo de retono sera 2x esse valor de t.

Passo 5

Vamos utilizar os dados de contorno para descobrir o tempo

t = 2 m k ln ⁡ k m g 20 + 1

t = 2 ⋅   30 ⋅ 0.15 ln ⁡ 20 30 ⋅ 0.15 ⋅ 10 + 1

t = 3.3 s

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

t = 3.3 s

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