Enunciado

3. Um tanque contém inicialmente 100 galões de água fresca. Joga-se, então, água contendo ½ libra de sal por galão a uma taxa de 2 galões por minuto e permite-se que a mistura saia do tanque à mesma taxa. Depois de 10 minutos, o processo é parado e joga-se água fresca no tanque a uma taxa de 2 galões por minuto, com a mistura deixando o tanque, novamente, àmesma taxa. Encontre a quantidade de sal no tanque ao final de 10 minutos adicionais

Passo 1

A equação diferencial que resolve esse problema pode ser encontrada na seção deste livro, mas podemos escrever como

d Q d t = T a x a   d e   E n t r a d a - T a x a   d e   S a i d a

d Q d t = γ r - r Q V

Onde Q é a concentração do nosso material

d Q d t é a variação dessa concentração

γ é a concentração do volume do líquido que entra

r é a vazão de água que entra no tanque, se entrar a mesma quantidade que sai, logo podemos repetir r nos 2 termos

V é o volume do tanque

A solução dessa equação também pode ser encontrada nessa seção e podemos escrever como

d Q d t = γ r - r Q V

1 γ r - r Q V d Q = d t

Integrando em ambos os lados temos

- V r ln ⁡ γ r - r Q V = t + C

ln ⁡ γ r - r Q V = - r V t + C

γ r - r Q V = e - r V t + C

Ajustando um pouquinho essa equação e lembrando que podemos manipular a vontade nossa constante arbitraria, podemos escrever a solução como

Q = γ V - C e - r t V r

Ou de forma mais limpa podemos escrever

Q = γ V + C e - r t V

Prontinho!!! Temos nossa equação para trabalhar \o/

Passo 2

Vamos agora usar os dados de contorno para resolver nosso problema. Sabemos que

V = 100   g a l

γ = 1 2   L b / g a l

r = 2   g a l / m i n

Q 0 = 0

Com isso podemos encontrar o valor de C

Q = γ V + C e - r t V

0 = γ V + C

C =   - γ V

Assim podemos reescrever nossa equação como

Q = γ V 1 - e - r t V

Vamos plotar os valores na nossa equação agora

Q = 1 2 100 1 - e - 2 t 100

Passo 3

Agora queremos saber qual a concentração depois de 10 minutos

Q 10 = 50 1 - e - 1 5

Q ( 10 ) = 9

Passo 4

Agora temos a parte 2 do problema, abre a torneira com água limpa ( γ = 0 )   e deixa 10 minutos limpando o tanque. Então temos que montar novamente nossa equação

Q = γ V + C e - r t V

9 = C e 0

C = 9

Assim nossa função fica

Q = 9 e - t 50

Q 10 = 9 e - 1 5

Q 10 = 7.4

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Q 10 = 7.4

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