Enunciado

21-31 Encontre a derivada da função dada usando a definição. Estabeleça os domínios da função e da derivada.

23 .   f x = 5 x 2 + 3 x - 2

Passo 1

Beleza meu parceiro? Pronto para mais uma resolução?

Então, aqui nos é dada uma função:

f x = 5 x 2 + 3 x - 2

E nos é pedido para encontrarmos a sua derivada utilizando a definição de derivada. Para isso iremos utilizar a equação:

f ´ x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Devemos então resolver esse limite para encontrarmos a derivada.

Em relação ao domínio da função e da sua derivada, o domínio é o conjunto de valores de x que nossa função aceita. Iremos analisar as funções e descobrir quais valores são esses a partir de possíveis restrições da nossa função.

Passo 2

Colocarei aqui a equação para calcular a derivada de f ( x ) .

f ´ x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Vamos anotar aqui os valores que estão na expressão da derivada!

f x + h = 5 x + h 2 + 3 x + h - 2  

Realizando o produto notável e a distributiva do segundo termo:

f x + h = 5 x 2 + 2 x h + h 2 + 3 x + 3 h - 2

Realizando a distributiva do primeiro termo:

f x + h = 5 x 2 + 10 x h + 5 h 2 + 3 x + 3 h - 2

f x = 5 x 2 + 3 x - 2

Substituindo tudo dentro da derivada, temos:

f ´ x = lim h → 0 ⁡ 5 x 2 + 10 x h + 5 h 2 + 3 x + 3 h - 2 - 5 x 2 + 3 x - 2 h

Fazendo o jogo de sinais no último termo:

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ 5 x 2 + 10 x h + 5 h 2 + 3 x + 3 h - 2 - 5 x 2 - 3 x + 2 h

Simplificando os termos semelhantes:

f ' ( x ) = l i m h → 0 10 x h + 5 h 2 + 3 h h

Botando o h em evidência, temos:

f ´ x = l i m h → 0 h ( 10 x + 5 h + 3 ) h

Cortando h de cima com h de baixo, temos:

f ´ x = l i m h → 0 10 x + 5 h + 3

f ' ( x ) = 10 x + 3

Passo 3

O domínio, tanto para f ( x ) quanto pra f ' ( x ) é o conjunto dos reais, pois não temos nenhuma restrição de x .

D f x = R

D f ' x = R

Resposta

f ´ x = 10 x + 3

D f x = R

D f ' x = R

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